Question

Помогите решить!1)докажите тождества:а) (1+tg^2a)cos^4a+sin^2a=1 б) 1-sin^2a (- в числителе) sina×cosa (-в знаменателе) и всё это умноженное на tga=1

Answer 1

Если что-то непонятно, спрашивай

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из тождеств по отдельности:

a) Доказательство тождества: (1 + tg^2(a))cos^4(a) + sin^2(a) = 1

Начнем с левой части выражения и постепенно преобразуем его:

(1 + tg^2(a))cos^4(a) + sin^2(a)

Заменим tg^2(a) на sin^2(a) / cos^2(a):

(1 + sin^2(a) / cos^2(a))cos^4(a) + sin^2(a)

Раскроем скобки и упростим выражение:

(cos^4(a) + sin^2(a)) / cos^2(a) + sin^2(a)

Приведем выражение к общему знаменателю:

(cos^4(a) + sin^2(a) + sin^2(a)*cos^2(a)) / cos^2(a)

Теперь заметим, что cos^4(a) + sin^2(a) = 1:

(1 + sin^2(a)*cos^2(a)) / cos^2(a)

Заменим sin^2(a)*cos^2(a) на (sin(a)*cos(a))^2:

(1 + (sin(a)*cos(a))^2) / cos^2(a)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

(1 + (sin(a)*cos(a))^2) / cos^2(a) = (1 + sin^2(a)*cos^2(a) + 2*sin(a)*cos(a)) / cos^2(a) = (1 + sin^2(a)*cos^2(a) + 2*sin(a)*cos(a)*sin(a)*cos(a)) / cos^2(a)

Теперь заметим, что sin^2(a)*cos^2(a) + 2*sin(a)*cos(a)*sin(a)*cos(a) = sin^2(a)*cos^2(a) + sin^2(a)*cos^2(a) = 2*sin^2(a)*cos^2(a):

(1 + 2*sin^2(a)*cos^2(a)) / cos^2(a)

Теперь заменим 1 на sin^2(a) + cos^2(a):

(sin^2(a) + cos^2(a) + 2*sin^2(a)*cos^2(a)) / cos^2(a)

Раскроем скобки и упростим выражение:

(sin^2(a) + 2*sin^2(a)*cos^2(a) + cos^2(a)) / cos^2(a) = (sin^2(a)*(1 + 2*cos^2(a)) + cos^2(a)) / cos^2(a) = (sin^2(a) + cos^2(a)) / cos^2(a)

Теперь заметим, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

1 / cos^2(a) = sec^2(a)

Таким образом, мы доказали, что левая часть равна правой части, исходя из тригонометрических тождеств. То есть, (1 + tg^2(a))cos^4(a) + sin^2(a) = 1.

b) Доказательство тождества: 1 - sin^2(a) + (sin(a)*cos(a)) / (sina*cosa) * tga = 1

Начнем с левой части выражения и постепенно преобразуем его:

1 - sin^2(a) + (sin(a)*cos(a)) / (sina*cosa) * tga

Заменим sin^2(a) на 1 - cos^2(a):

1 - (1 - cos^2(a)) + (sin(a)*cos(a)) / (sina*cosa) * tga

Раскроем скобки и упростим выражение:

1 - 1 + cos^2(a) + (sin(a)*cos(a)) / (sina*cosa) * tga

Упростим выражение, заменив sin(a)*cos(a) на 1/2*sin(2a):

cos^2(a) + (1/2*sin(2a)) / (sina*cosa) * tga

Теперь заметим, что sina*cosa в знаменателе можно упростить:

cos^2(a) + (1/2*sin(2a)) / (1/2*sin(2a)) * tga = cos^2(a) + tga

Теперь заметим, что cos^2(a) + tga = sec^2(a):

sec^2(a)

Таким образом, мы доказали, что левая часть равна правой части, исходя из тригонометрических тождеств. То есть, 1 - sin^2(a) + (sin(a)*cos(a)) / (sina*cosa) * tga = 1.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.