Question

Помогите с решением ,пожалуйста sqrt[2-x]>sqrt[x^2-x-2]

Answer 1

Если под квадратными скобками имелись в виду обычные, то вот Возводим все в квадрат, получаем: 2-х>х^2-х-2 Приводим подобные х^2-4<0 х<2 Ответ: х принадлежит (от -бесконечности до двух)

Answer 2

Давайте решим неравенство \( \sqrt{2 - x} > \sqrt{x^2 - x - 2} \).

1. Переносим все члены в одну сторону: \[ \sqrt{2 - x} - \sqrt{x^2 - x - 2} > 0 \]

2. Избавляемся от корней, умножая обе стороны на сопряженные выражения: Умножим и делим на \(\sqrt{2 - x} + \sqrt{x^2 - x - 2}\): \[ \frac{\sqrt{2 - x} - \sqrt{x^2 - x - 2}}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{x^2 - x - 2}} > 0 \]

3. Используем разность квадратов в числителе: \[ \frac{(2 - x) - (x^2 - x - 2)}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{x^2 - x - 2}} > 0 \]

4. Упрощаем числитель: \[ \frac{-x^2 + 2x}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{x^2 - x - 2}} > 0 \]

5. Факторизуем числитель: \[ \frac{-x(x - 2)}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{x^2 - x - 2}} > 0 \]

Теперь у нас есть дробь, которая равна 0 при \(x = 0\) и \(x = 2\). Мы можем использовать эти точки, чтобы разбить область числовой оси на интервалы и определить знак выражения в каждом интервале.

Составим таблицу знаков:

\[ \begin{array}{cccc} & -\infty & 0 & 2 & +\infty \\ \hline -x & + & 0 & - & - \\ x - 2 & - & - & + & + \\ \hline \text{Знак числителя} & + & 0 & - & + \\ \end{array} \]

Теперь рассмотрим знаки в знаменателе \(\sqrt{2 - x} + \sqrt{x^2 - x - 2}\). Оба корня в знаменателе всегда положительны, поэтому знак знаменателя будет таким же, как и знак числителя.

Таким образом, решение неравенства \(\sqrt{2 - x} > \sqrt{x^2 - x - 2}\) — это интервалы, где числитель положителен:

\[ x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \]

Таким образом, \( x \) принимает значения из интервала \((- \infty, 0) \cup (2, +\infty)\), чтобы удовлетворять исходному неравенству.