Question

(log3x)^2+2log3x-3<=0 помогите решить срочно пожалуйста

Answer 1

$\log_3^2x+2\log_3x-3 \leq 0\\ \\ \bigg(\log_3^2x+2\log_3x+1\bigg)-4\leq 0\\ \\ \bigg(\log_3x+1\bigg)^2\leq 4\\ \\ -2 \leq \log_3x+1 \leq 2\\ \\ -3\leq \log_3x\leq 1\\ \\ \displaystyle\left \{ {{ \frac{1}{27} \leq x \leq 3} \atop {x\ \textgreater \ 0~~~~~~}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \frac{1}{27} \leq x \leq 3$

Answer 2

Давайте решим неравенство \( (\log_3x)^2 + 2\log_3x - 3 \leq 0 \).

Обозначим \(\log_3x\) за \(t\), тогда у нас получится квадратное уравнение:

\[ t^2 + 2t - 3 \leq 0 \]

Факторизуем его или воспользуемся квадратным корнем:

\[ (t + 3)(t - 1) \leq 0 \]

Теперь рассмотрим три интервала на числовой прямой: \((- \infty, -3]\), \((-3, 1]\) и \((1, +\infty)\).

1. Подставим значение из каждого интервала в выражение \( (t + 3)(t - 1) \):

- Для интервала \((- \infty, -3]\) выберем \(t = -4\): \(((-4) + 3)((-4) - 1) = (-1)(-5) = 5\), что положительно.

- Для интервала \((-3, 1]\) выберем \(t = 0\): \((0 + 3)(0 - 1) = (3)(-1) = -3\), что отрицательно.

- Для интервала \((1, +\infty)\) выберем \(t = 2\): \((2 + 3)(2 - 1) = (5)(1) = 5\), что положительно.

2. Теперь посмотрим на знаки в каждом интервале. Мы видим, что выражение \((t + 3)(t - 1)\) отрицательно только на интервале \((-3, 1]\).

Итак, решение неравенства \((\log_3x)^2 + 2\log_3x - 3 \leq 0\) - это множество всех \(x\), для которых \(\log_3x\) находится в интервале \((-3, 1]\). Это можно записать как:

\[ 0 < x \leq 3 \]

Таким образом, ответ на ваш запрос - \(0 < x \leq 3\).