Question

Рещите уравнение пж! квадратный корень x^2+x+7 + квадратный корень x^2+x+2= квадратный корень 3x^2+3x+19

Answer 1

√(x^2+x+7) + √(x^2+x+2) = √(3x^2+3x+19)
Область определения:
{ x^2 + x + 7 >= 0 - x ∈ (-oo; +oo)
{ x^2 + x + 2 >= 0 - x ∈ (-oo; +oo)
{ 3x^2 + 3x + 19 >= 0 - x ∈ (-oo; +oo)
Замена y = x^2 + x + 5 > 0 при любом x, тогда 3x^2 + 3x + 19 = 3y + 4
√(y + 2) + √(y - 3) = √(3y + 4)
Возводим в квадрат, но помним, что при этом могут появиться лишние корни. Поэтому в конце все корни надо будет проверить.
y + 2 + 2√[(y+2)(y-3)] + y - 3 = 3y + 4
2√[(y+2)(y-3)] = y + 5
Опять возводим в квадрат и раскрываем скобки под корнем.
4(y^2 - y - 6) = (y + 5)^2 = y^2 + 10y + 25
4y^2 - 4y - 24 = y^2 + 10y + 25
3y^2 - 14y - 49 = 0
D = 14^2 - 4*3(-49) = 196 + 12*49 = 784 = 28^2
y1 = (14 - 28)/6 = -14/6 < 0 - не подходит
y2 = (14 + 28)/6 = 42/6 = 7
Обратная замена x^2 + x + 5 = 7
x^2 + x - 2 = 0
(x - 1)(x + 2) = 0
x1 = 1; x2 = -2

Answer 2

Для решения данного уравнения мы сначала приведем его к квадратному уравнению, а затем применим квадратный корень к обеим его сторонам:

√(x^2 + x + 7) + √(x^2 + x + 2) = √(3x^2 + 3x + 19)

Далее, чтобы избавиться от квадратного корня, мы возведем обе стороны уравнения в квадрат:

[x^2 + x + 7 + 2√((x^2 + x + 7)(x^2 + x + 2)) + x^2 + x + 2] = 3x^2 + 3x + 19

Упрощаем:

2x^2 + 2x + 9 + 2√[(x^2 + x + 7)(x^2 + x + 2)] = 3x^2 + 3x + 19

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

0 = x^2 + x - 10 + 2√[(x^2 + x + 7)(x^2 + x + 2)] - x^2 - 2x + 19

0 = 2√[(x^2 + x + 7)(x^2 + x + 2)] - x - 9

Теперь возводим все в квадрат еще раз:

0 = 4(x^2 + x + 7)(x^2 + x + 2) - 4(x + 9)√[(x^2 + x + 7)(x^2 + x + 2)] + (x + 9)^2

Упрощаем:

0 = 4(x^2 + x + 7)(x^2 + x + 2) - 4(x + 9)√[(x^2 + x + 7)(x^2 + x + 2)] + x^2 + 18x + 81

Теперь делаем замену:

y = √[(x^2 + x + 7)(x^2 + x + 2)]

Получится:

0 = 4y^2 - 4(x + 9)y + x^2 + 18x + 81

Теперь решаем квадратное уравнение:

4y^2 - 4(x + 9)y + x^2 + 18x + 81 = 0

Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться квадратным трехчленом:

Δ = b^2 - 4ac

a = 4, b = -4(x + 9), c = x^2 + 18x + 81

Δ = (-4(x + 9))^2 - 4 * 4 * (x^2 + 18x + 81)

Δ = 16(x + 9)^2 - 16(x^2 + 18x + 81)

Раскрываем квадрат:

Δ = 16(x^2 + 18x + 81) - 16(x^2 + 36x + 324)

Δ = 16x^2 + 288x + 1296 - 16x^2 - 288x - 1296

Δ = 0

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один корень, и мы можем продолжить решение.

Основная формула для нахождения корней квадратного уравнения:

x1,2 = (-b ± √Δ) / 2a

x = (-(-4(x + 9))) / (2 * 4)

x = (4x + 36) / 8

x = x / 2 + 9/2

Упрощаем выражение:

x - x/2 = 9/2

x/2 = 9/2

x = 9

Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень x = 9.