Question

Определенный интеграл от 1 до e^(pi/2) Coslnxdx

Answer 1

$\int\limits^{e^{ \frac{ \pi }{2} }}_1 {Coslnx} \, dx =| \ t=lnx \ x=e^t \ dx=e^tdt| = \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {Cost \, e^t} \, dt$
$I = \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {Cost \, e^t} \, dt =\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {e^t} \, dSint=e^tSint|_0^{ \frac{ \pi }{2} }-\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {Sint \, e^t} \, dt = \\ =e^{ \frac{ \pi }{2} }Sin \frac{ \pi }{2} -e^0Sin0+ \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 {e^t} \, dCost=e^{ \frac{ \pi }{2} } + e^tCost|_0^{ \frac{ \pi }{2} }- \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {Cost \, e^t} \, dt = \\ =e^{ \frac{ \pi }{2} }+e^{ \frac{ \pi }{2} }Cos \frac{ \pi }{2} -e^0Cos0-$$- \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {Cost \, e^t} \, dt =e^{ \frac{ \pi }{2} }-1- \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {Cost \, e^t} \, dt = e^{ \frac{ \pi }{2} }-1-I$
$I=e^{ \frac{ \pi }{2} }-1-I \\ 2I=e^{ \frac{ \pi }{2} }-1 \\ I= \frac{1}{2} (e^{ \frac{ \pi }{2} }-1)$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод подстановки.

1. Проведем замену переменных: пусть u = ln(x), тогда x = e^u и dx = e^u du.

2. Теперь заменим пределы интегрирования. Когда x = 1, у = ln(1) = 0, а когда x = e^(pi/2), у = ln(e^(pi/2)) = pi/2.

3. Подставим эти значения в интеграл:

∫[1, e^(pi/2)] cos(ln(x))dx = ∫[0, pi/2] cos(u)e^udu.

4. Интеграл ∫ cos(u)e^udu можно решить с помощью интегрирования по частям. Пусть u = cos(u), v' = e^u, тогда u' = -sin(u) и v = e^u.

5. Применим формулу интегрирования по частям:

∫ u v' dx = u v - ∫ v u' dx.

6. Запишем результат:

∫ cos(u)e^udu = cos(u)e^u - ∫ -sin(u)e^u du.

7. Продолжим интегрировать ∫ -sin(u)e^u du:

∫ -sin(u)e^u du = -∫ sin(u)e^u du.

8. Применим интегрирование по частям еще раз: пусть u = sin(u), v' = e^u, тогда u' = cos(u) и v = e^u.

9. Запишем окончательный результат:

∫ -sin(u)e^u du = -sin(u)e^u + ∫ cos(u)e^u du.

10. Объединим два полученных интеграла:

∫ cos(u)e^udu = cos(u)e^u - ∫ -sin(u)e^u du = cos(u)e^u + ∫ cos(u)e^udu.

11. Перенесем ∫ cos(u)e^udu в левую часть уравнения:

∫ cos(u)e^udu - ∫ cos(u)e^udu = cos(u)e^u.

12. Упростим выражение:

0 = cos(u)e^u.

13. Так как функция e^u не равна нулю для любых значений u, то у нас получается равенство cos(u) = 0.

14. Найдем значения u, при которых cos(u) = 0. Это происходит, когда u = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

15. Подставим полученные значения в выражение для u:

u = (2k + 1)π/2 = ln(x).

16. Решим это уравнение относительно x:

x = e^[(2k + 1)π/2].

17. Теперь вычислим значение интеграла для каждого значения k:

При k = 0: x = e^(π/2), интеграл равен 0. При k = 1: x = e^(3π/2), интеграл равен 0. При k = 2: x = e^(5π/2), интеграл равен 0. ... и так далее.

18. В итоге, значение определенного интеграла от 1 до e^(pi/2) cos(ln(x))dx равно 0.