Question

упростите выражение 5 tg^2x cos^2X+5sin^2x ctg^2x

Answer 1

$5tg^2xcos^2x+5sin^2xctg^2x= 5\frac{sin^2x}{cos^2x}cos^2x+5sin^2x\frac{cos^2x}{sin^2x}=5sin^2x+5cos^2x=5(sin^2x+cos^2x)=5\cdot1=5$

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим это выражение поэтапно.

У нас есть выражение: \(5 \cdot \tan^2(x) + \cos^2(x) + 5 \cdot \sin^2(x) + \cot^2(x)\).

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения.

1. \(1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)\) (тригонометрическое тождество). 2. \(1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)\) (тригонометрическое тождество). 3. Также, \(1 = \sin^2(x) + \cos^2(x)\) (тригонометрическое тождество).

Теперь давайте заменим \(\tan^2(x)\) и \(\cot^2(x)\) в исходном выражении:

\(5 \cdot \tan^2(x) + \cos^2(x) + 5 \cdot \sin^2(x) + \cot^2(x)\)

\(= 5 \cdot \tan^2(x) + \cos^2(x) + 5 \cdot \sin^2(x) + \csc^2(x)\)

Теперь можно попробовать переписать \(\tan^2(x)\) и \(\csc^2(x)\) через другие тригонометрические функции:

\(5 \cdot \tan^2(x) = 5 \cdot (\sec^2(x) - 1)\) (используем \(1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)\)).

Также, \(\csc^2(x) = \frac{1}{\sin^2(x)} = \frac{1}{1 - \cos^2(x)}\) (так как \(1 = \sin^2(x) + \cos^2(x)\)).

Подставим эти выражения обратно в наше исходное уравнение:

\(5 \cdot \tan^2(x) + \cos^2(x) + 5 \cdot \sin^2(x) + \cot^2(x)\)

\(= 5 \cdot (\sec^2(x) - 1) + \cos^2(x) + 5 \cdot \sin^2(x) + \frac{1}{1 - \cos^2(x)}\)

Теперь объединим похожие термины и попробуем упростить это еще дальше.