Question

Решите уравнение sqrt(9+4^x)=2*2^x-3.Если корней больше одного,в ответ запишите их сумму.( sqrt-квадратный корень, ^-возведение в степень) И если можно с решением.

Answer 1

Решение находится во вложении

Answer 2

Конечно, давайте решим это уравнение по шагам.

У нас есть уравнение: \(\sqrt{9+4^x} = 2 \cdot 2^x - 3\)

Для начала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\(\sqrt{9+4^x} = 2 \cdot 2^x - 3\)

Возводим в квадрат:

\((\sqrt{9+4^x})^2 = (2 \cdot 2^x - 3)^2\)

\(9+4^x = 4 \cdot 2^{2x} - 12 \cdot 2^x + 9\)

Теперь сгруппируем все члены в одну сторону уравнения:

\(4^x = 4 \cdot 2^{2x} - 12 \cdot 2^x\)

Заменим \(2^{2x}\) на \((2^x)^2 = (2^x)^2\):

\(4^x = 4 \cdot (2^x)^2 - 12 \cdot 2^x\)

Обозначим \(2^x = t\), тогда:

\(4^x = 4t^2 - 12t\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(t\):

\(4^x = 4t^2 - 12t\)

\(4t^2 - 12t - 4^x = 0\)

Теперь найдем корни этого уравнения при помощи квадратного уравнения:

\(t = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4^x)}}{2 \cdot 4}\)

\(t = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 16 \cdot 4^x}}{8}\)

\(t = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 16^x}}{8}\)

Теперь заменим \(t\) обратно на \(2^x\):

\(2^x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 16^x}}{8}\)

Теперь решим это уравнение относительно \(2^x\):

\[2^x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 16^x}}{8}\]

Это уравнение не решается аналитически в общем виде, и для нахождения корней потребуется численный метод или специальные подходы.

Если у вас есть конкретное значение \(x\), которое вам интересно, я могу помочь вычислить значение \(2^x\) для этого конкретного \(x\).