Question

Решить систему уравнений:x^2 + y^2 = 26xy = -5

Answer 1

$x^2 + y^2 = 26\\ xy = -5\\ x^2 + y^2 +2xy-2xy= 26\\ xy = -5\\ (x+y)^2=26+2xy\\ (x+y)^2=26+2*(-5)\\ (x+y)^2=16\\ x+y=4\\xy=-5\\x=4-y\\4y-y^2+5=0\\y^2-4y-5=0\\y_1=-1\\y_2=5\\x_1=5\\x_2=-1\\x+y=-4\\xy=-5\\x=-4-y\\-4y-y^2+5=0\\y^2+4y-5=0\\y_3=1\\y_4=-5\\x_3=-5\\x_4=1\\(5;-1)(-1;5)(-5;1)(1;-5)$

Answer 2

Для решения данной системы уравнений \(x^2 + y^2 = 26\) и \(xy = -5\) мы можем воспользоваться методами замены или выражения одной переменной через другую.

Давайте решим уравнение \(xy = -5\) относительно одной переменной. Для этого можно выразить одну переменную через другую и подставить это выражение в первое уравнение.

Из уравнения \(xy = -5\) можно выразить, например, \(y\) через \(x\), разделив обе стороны на \(x\):

\[y = -\frac{5}{x}\]

Теперь подставим это выражение для \(y\) в уравнение \(x^2 + y^2 = 26\):

\[x^2 + \left(-\frac{5}{x}\right)^2 = 26\] \[x^2 + \frac{25}{x^2} = 26\]

Умножим обе стороны на \(x^2\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[x^4 + 25 = 26x^2\] \[x^4 - 26x^2 + 25 = 0\]

Это квадратное уравнение относительно \(x^2\). Давайте введем замену, например, \(z = x^2\):

\[z^2 - 26z + 25 = 0\]

Это уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного уравнения.

Факторизуем это уравнение:

\[(z - 1)(z - 25) = 0\]

Таким образом, получаем два возможных значения для \(z\):

\(z_1 = 1\) и \(z_2 = 25\)

Теперь возвращаемся к замене: \(z = x^2\).

Для \(z_1 = 1\): \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\]

Для \(z_2 = 25\): \[x^2 = 25\] \[x = \pm 5\]

Теперь, когда у нас есть значения \(x\), мы можем найти соответствующие значения \(y\) с помощью уравнения \(y = -\frac{5}{x}\):

При \(x = 1\): \[y = -5\]

При \(x = -1\): \[y = 5\]

При \(x = 5\): \[y = -1\]

При \(x = -5\): \[y = 1\]

Итак, решение системы уравнений \(x^2 + y^2 = 26\) и \(xy = -5\) состоит из четырех пар значений \(x\) и \(y\):

1. \(x = 1\), \(y = -5\) 2. \(x = -1\), \(y = 5\) 3. \(x = 5\), \(y = -1\) 4. \(x = -5\), \(y = 1\)

Проверим полученные значения, подставив их обратно в исходные уравнения:

1. \(1^2 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26\) и \(1 \cdot (-5) = -5\) - верно 2. \((-1)^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26\) и \((-1) \cdot 5 = -5\) - верно 3. \(5^2 + (-1)^2 = 25 + 1 = 26\) и \(5 \cdot (-1) = -5\) - верно 4. \((-5)^2 + 1^2 = 25 + 1 = 26\) и \((-5) \cdot 1 = -5\) - верно

Таким образом, все четыре пары \((x, y)\) удовлетворяют исходной системе уравнений.