Question

Найти первообразную для функции корень из (1/х)

Answer 1

$\int{\sqrt{\frac{1}{x}}}\, dx = \int{x^{\frac{-1}{2}}}\, dx = \frac{x^{1-\frac{1}{2}}}{1-\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$

Answer 2

Для функции \(f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}\) мы можем найти первообразную, используя правило интегрирования исходной функции.

Нахождение первообразной

Чтобы найти первообразную для функции \(f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}\), мы можем использовать правило интегрирования для обратной функции. Давайте разберемся.

1. Заметим, что функция \(f(x)\) может быть записана как \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\). 2. Мы можем представить функцию \(f(x)\) в виде \(f(x) = x^{-\frac{1}{2}}\). 3. Применяя правило интегрирования для функции \(x^n\), где \(n\) не равно -1, мы получаем: \[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\] где \(C\) - произвольная постоянная. 4. Применяя это правило к нашей функции \(f(x) = x^{-\frac{1}{2}}\), мы получаем: \[\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = -2\sqrt{x} + C.\]

Таким образом, первообразная для функции \(f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}\) равна \(-2\sqrt{x} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Ответ

Первообразная для функции \(f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}\) равна \(-2\sqrt{x} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.