Question

Решите уравнение. Sin10x-cos4x=0

Answer 1

Sin10x-sin(π/2-4x)=0
2sin(7x-π/4)cos(3x+π/4)=0
sin(7x-π/4)=0
7x-π/4=πn,n∈Z
7x=π/4+πn,n∈Z
x=π/28+πn/7,n∈Z
cos(3x+π/4)=0
3x+π/4=π/2+πk,k∈Z
3x=π/4+πk,k∈Z
x=π/12+πk/3,k∈Z

Answer 2

$sin10x-cos4x=0$
$sin10x-sin( \frac{ \pi }{2}-4x)=0$
$2*cos( \frac{10x+\frac{ \pi }{2}-4x}{2})*sin(\frac{10x-\frac{ \pi }{2}+4x}{2})=0$
$cos( \frac{6x+\frac{ \pi }{2}}{2})*sin(\frac{14x-\frac{ \pi }{2}}{2})=0$
$cos(3x+\frac{ \pi }{4})*sin(7x-\frac{ \pi }{4})=0$
1) $cos(3x+\frac{ \pi }{4})=0$
$3x+\frac{ \pi }{4}=\frac{ \pi }{2}+ \pi k$, k∈Z
$3x=\frac{ \pi }{2}-\frac{ \pi }{4}+ \pi k=\frac{ \pi }{4}+ \pi k$, k∈Z
$x=\frac{ \pi }{12}+\frac{ \pi k}{3}$, k∈Z - ответ
2) $sin(7x-\frac{ \pi }{4})=0$
$7x-\frac{ \pi }{4}= \pi k$, k∈Z
$7x=\frac{ \pi }{4}+ \pi k$, k∈Z
$x=\frac{ \pi }{28}+\frac{ \pi k}{7}$, k∈Z - ответ

Использовалась формула:
$sina-sinb=2cos \frac{a+b}{2}*sin\frac{a-b}{2}$

Answer 3

Давайте решим уравнение \( \sin(10x) - \cos(4x) = 0 \).

1. Приведение к общему знаменателю:

Рассмотрим \(\sin(10x)\) и \(\cos(4x)\). Мы не можем сложить их напрямую, поэтому давайте приведем их к общему знаменателю.

Общий знаменатель для \(\sin(10x)\) и \(\cos(4x)\) - это \(\sin(10x)\cos(4x)\). Таким образом, уравнение примет вид:

\[ \sin(10x) - \cos(4x) = \frac{\sin(10x)}{\sin(10x)\cos(4x)} - \frac{\cos(4x)}{\sin(10x)\cos(4x)} = 0. \]

2. Упрощение:

Теперь у нас есть общий знаменатель, и мы можем объединить дроби:

\[ \frac{\sin(10x) - \cos(4x)}{\sin(10x)\cos(4x)} = 0. \]

Теперь у нас есть дробь, равная нулю. Это возможно только в том случае, если числитель равен нулю.

3. Решение числителя:

\[ \sin(10x) - \cos(4x) = 0. \]

\[ \sin(10x) = \cos(4x). \]

4. Использование тригонометрических тождеств:

Мы знаем, что \(\sin(\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha)\). Таким образом:

\[ \sin(10x) = \cos(4x) \implies \sin(10x) = \sin\left(90^\circ - 4x\right). \]

5. Решение для \(x\):

Теперь у нас есть уравнение для синусов, и мы можем приравнять аргументы:

\[ 10x = 90^\circ - 4x. \]

Решаем это уравнение относительно \(x\):

\[ 14x = 90^\circ \implies x = \frac{90^\circ}{14}. \]

Таким образом, одним из решений уравнения является \( x = \frac{90^\circ}{14} \).

Обратите внимание, что тригонометрические функции периодичны, и поэтому у уравнения могут быть и другие решения.