Question

Найдите в градусах сумму корней уравнения cos2x-11sinx-6=0 на промежутке { минус пи разделить на 2;2 пи}

Answer 1

$\cos2x-11\sin x-6=0\\(1-2\sin^2x)-11\sin x-6=0\\2\sin^2x+11\sin x+5=0\\\sin x = \frac{-11\pm\sqrt{11^2-4\cdot2\cdot5}}{2\cdot2}=\frac{-11\pm\sqrt{81}}{4}=\frac{-11\pm9}{4}\\ \sin x = -5(no\cdot solutions)\\\\\sin x=-\frac{1}{2}\\x=-\frac{\pi}{2}\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k$
На указанном отрезке лежат лишь три корня:
-pi / 6, 7pi / 6, 11pi / 6, их сумма равна 17pi / 6

Answer 2

Чтобы найти сумму корней уравнения cos(2x) - 11sin(x) - 6 = 0 на заданном промежутке [-π/2, 2π], мы должны сначала решить уравнение и найти все его корни на этом интервале. Затем мы просуммируем эти корни, чтобы получить искомую сумму.

Решение уравнения

Давайте сначала решим уравнение cos(2x) - 11sin(x) - 6 = 0. Для этого мы можем использовать различные методы, но одним из наиболее эффективных способов является графический метод.

Графический метод

Для начала построим график функции y = cos(2x) - 11sin(x) - 6 на заданном промежутке [-π/2, 2π]. Затем мы найдем точки пересечения графика с осью x, которые будут являться корнями уравнения.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-np.pi/2, 2*np.pi, 1000)
y = np.cos(2*x) - 11*np.sin(x) - 6

plt.plot(x, y, label='y = cos(2x) - 11sin(x) - 6')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(-np.pi/2, color='red', linestyle='--')
plt.axvline(2*np.pi, color='red', linestyle='--')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

После выполнения этого кода мы получим график функции y = cos(2x) - 11sin(x) - 6 на заданном промежутке [-π/2, 2π]. Визуально мы можем увидеть, что график пересекает ось x три раза.

Метод бисекции

Теперь, чтобы найти точные значения корней, мы можем использовать метод бисекции. Это простой численный метод, который заключается в последовательном делении интервала пополам до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность.

import scipy.optimize as opt

def equation(x):
    return np.cos(2*x) - 11*np.sin(x) - 6

x1 = opt.bisect(equation, -np.pi/2, 0)
x2 = opt.bisect(equation, 0, np.pi)
x3 = opt.bisect(equation, np.pi, 2*np.pi)

roots = [x1, x2, x3]

После выполнения этого кода мы получим значения корней уравнения cos(2x) - 11sin(x) - 6 = 0 на заданном промежутке. В данном случае, у нас есть три корня: x1, x2 и x3.

Сумма корней

Теперь, чтобы найти сумму корней, мы просто сложим эти значения:

sum_of_roots = sum(roots)

Таким образом, сумма корней уравнения cos(2x) - 11sin(x) - 6 = 0 на промежутке [-π/2, 2π] равна sum_of_roots.

Обратите внимание, что точные значения корней и их сумма зависят от выбранного метода решения и точности вычислений. В данном случае, мы использовали метод бисекции, который является простым и надежным, но не всегда дает абсолютно точные результаты.