Question

Сколько имеет корней уравнение 2cos(x) + 1 = 0 На промежутку (-3; 9) Распишите пожалуйста поподробней. В ответе должно быть 4, а у меня получается токо 2, есть мысль что cos функция парная и минус стает плюсом, но наверное она не верна, заранее спасибо!)

Answer 1

Всё своим у уравнению cos x=-0,5, у него 4 корня на заданном интервале: -2*π/3; 2*π/3; 4*π/3; 8*π/3

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением \(2\cos(x) + 1 = 0\) на промежутке \((-3; 9)\).

Начнем с решения уравнения \(2\cos(x) + 1 = 0\). Выражаем \(\cos(x)\):

\[2\cos(x) = -1\]

\[\cos(x) = -\frac{1}{2}\]

Теперь найдем значения \(x\), для которых \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\). Обычно мы знаем, что \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\), а также \(\cos(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2}\). Однако, поскольку у нас отрицательное значение \(\cos(x)\), мы будем искать, где \(\cos(x)\) отрицательный.

На тригонометрической окружности это соответствует третьему и четвертому квадрантам. Таким образом, мы имеем два значения \(x\) на промежутке \([0, 2\pi)\):

\[x_1 = \frac{4\pi}{3}\] \[x_2 = \frac{5\pi}{3}\]

Теперь проверим, какие из этих значений попадают в интервал \((-3; 9)\).

\[x_1 = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19\] \[x_2 = \frac{5\pi}{3} \approx 5.24\]

Таким образом, оба значения \(x_1\) и \(x_2\) находятся в пределах \((-3; 9)\).

Теперь, чтобы получить все решения на интервале \((-3; 9)\), мы можем прибавить к каждому из этих решений кратное \(2\pi\) (период косинуса). Так что общее решение:

\[x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi\] \[x = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi\]

где \(n\) - целое число.

Проверим, сколько у нас получилось корней на интервале \((-3; 9)\), подставив различные значения для \(n\):

1. \(n = 0\): \(x = \frac{4\pi}{3}\) и \(x = \frac{5\pi}{3}\) 2. \(n = 1\): \(x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi\) 3. \(n = -1\): \(x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{3} - 2\pi\)

Таким образом, у нас есть четыре корня на интервале \((-3; 9)\), как и ожидалось.