Question

Cos^2x + cos2x = 1 Решите, пожалуйста.

Answer 1

$cos^2x+cos2x=1\\\\cos^2x=1-cos2x\\\\\star \; \; cos2x=cos^2x-sin^2x=cos^2x-(1-cos^2x)=2cos^2x-1\; \Rightarrow \\\\2cos^2x=1+cos2x\; \; \to\; \; cos^2x= \frac{1+cos2x}{2} \; \; \star \\\\\\ \frac{1+cos2x}{2}=1-cos2x\\\\1+cos2x=2-2cos2x\\\\3cos2x=1\\\\cos2x= \frac{1}{3}\\\\ 2x=\pm arccos \frac{1}{3}+2\pi n,\; n\in Z\\\\\underline {x=\pm \frac{1}{2}\cdot arccos \frac{1}{3}+\pi n,\; n\in Z}$

Answer 2

Конечно, давайте разберем данное уравнение:

\[ \cos^2(x) + \cos(2x) = 1 \]

Мы можем воспользоваться формулой для двойного угла:

\[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \]

Теперь мы можем подставить это выражение обратно в исходное уравнение:

\[ \cos^2(x) + (\cos^2(x) - \sin^2(x)) = 1 \]

Объединим похожие члены:

\[ 2\cos^2(x) - \sin^2(x) = 1 \]

Теперь воспользуемся тригонометрической тождественностью \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \):

\[ 2\cos^2(x) - (1 - \cos^2(x)) = 1 \]

Раскроем скобки:

\[ 2\cos^2(x) - 1 + \cos^2(x) = 1 \]

Сгруппируем члены:

\[ 3\cos^2(x) = 2 \]

Теперь делим обе стороны на 3:

\[ \cos^2(x) = \frac{2}{3} \]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[ \cos(x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \]

Таким образом, уравнение имеет два решения:

\[ \cos(x) = \sqrt{\frac{2}{3}} \quad \text{или} \quad \cos(x) = -\sqrt{\frac{2}{3}} \]

Итак, уравнение \(\cos^2(x) + \cos(2x) = 1\) имеет решения \(\cos(x) = \sqrt{\frac{2}{3}}\) и \(\cos(x) = -\sqrt{\frac{2}{3}}\).