Question

Помогите пожалуйста решить. а) 2sin 2x= корень 3 cos(3П/2 +x) б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-3П; -3П/2]

Answer 1

$2sin2x=\sqrt3cos(\frac{3\pi}2+x)\\4sinxcosx-\sqrt3sinx=0\\sinx(4cosx-\sqrt3)=0\\\\ \left[\begin{array}{ccc}sinx=0\\4cosx-\sqrt3=0\end{array}\right=\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc}x=\pi n;n\in Z\\cosx=\frac{\sqrt3}4\end{array}\right=\ \textgreater$

$=\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc}x=\pi n;n\in Z\\x=бarccos(\frac{\sqrt3}4)+2\pi n;n\in Z\end{array}\right$

Корни, принадлежащие промежутку  $x\in[-3\pi;-\frac{3\pi}2]$
$-2\pi,-2\piбarccos(\frac{\sqrt3}2),-3\pi.$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

а) \(2\sin(2x) = \sqrt{3}\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]\)

а) Начнем с уравнения \(2\sin(2x) = \sqrt{3}\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)\). Для удобства решения преобразуем это уравнение:

\[ \begin{align*} 2\sin(2x) &= \sqrt{3}\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \\ \sin(2x) &= \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \\ \sin(2x) &= \frac{\sqrt{3}}{2}(-\sin x) \quad \text{(так как }\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\sin x\text{)} \\ \sin(2x) &= -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \end{align*} \]

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой для умножения синуса:

\[ \sin(2x) = 2\sin x \cos x \]

Подставим это выражение в уравнение:

\[ 2\sin x \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \]

Теперь решим это уравнение. Если \(\sin x = 0\), то уравнение выполнено. Если \(\sin x \neq 0\), тогда можем сократить на \(\sin x\) и получим:

\[ 2\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Решив это уравнение, найдем значения \(x\).

б) Теперь рассмотрим уравнение и найдем его корни в указанном промежутке:

\[2\sin(2x) = \sqrt{3}\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)\]

Мы уже выразили его как \(\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\), и это уравнение имеет решения, когда \(\sin x = 0\) или \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, мы решаем систему уравнений:

\[ \begin{align*} \sin x &= 0 \\ \cos x &= -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*} \]

Решения первого уравнения: \(x = n\pi\), где \(n\) - целое число.

Решения второго уравнения: \(x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi\) и \(x = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi\), где \(n\) - целое число.

Теперь ограничимся промежутком \([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]\) и найдем соответствующие значения \(x\). Учтем, что \(\pi\) - это примерно 3.14159:

\[ \begin{align*} &n\pi \quad \text{для } n \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} \\ &\frac{5\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{для } n \in \{-3, -2, -1\} \\ &\frac{7\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{для } n \in \{-2, -1, 0\} \end{align*} \]

Таким образом, корни уравнения в указанном промежутке:

\[x = -3\pi, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\]