Question

Сколько решений имеет система уравненийx^2+y^2+xy=ax^2-y^2=кор.куб. из (a) где,а – произвольное вещественное число.

Answer 1

Долго думал)

Итак, первое уравнение определяет эллипс, а второе- гиперболу.

Следовательно, решений может быть либо 0, либо 2, либо 4.

Требуется преобразовать систему координат таким образом, чтобы уравнения приобрели более простой вид.

Воспользуемся стандартным алгоритмом приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

a11*x^2+2*a12*x*y*+a22*y^2=a

a11, a12, a22 - известные коэффициенты, в нашем случае a11=a22=1, a12=0.5.

Угол, на который нужно повернуть систему координат, чтобы убить член xy: tg(2*alpha)=2*a12/(a11-a22)

В знаменателе 0 => tg = бесконечность => 2*alpha=90, alpha = 45.

Крутим СК на 45 градусов.

Из аналитической геометрии известно, что выражения старых координат через новые:

x=x'*cos(alpha)-y'*sin(alpha)

y=x'*sin(alpha)+y'cos(alpha)

 

Подставим в первое уравнение основной системы. Получим

x'^2+y'^2 = 2a/3         это ОКРУЖНОСТЬ!!!!

Во втором уравнении

y' = (-a^(1/3))/(2*x')   это ГИПЕРБОЛА.

 

Теперь рассматриваем различные случаи значений а.

а=0 => одно решение (0;0)

Подставив y' из ур-я гиперболы в ур-е окружности, получим биквадратное уравнение относительно x'.

x'^4 - (2a/3)*x'^2+4*a^(2/3) = 0

исследуем его дискриминант.

(1/9)*a^4-a^(2/3) >= 0 , откуда a^(10/3) >=9 => a>= 9^(3/10)

ответ: a=0 один корень

   а = 9^(3/10) два корня

  a > 9^ (3/10) четыре корня!

Answer 2

Давайте разберёмся с данным уравнением.

У вас есть система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + xy = a \\ x^2 - y^2 = \sqrt[3]{a} \end{cases} \]

Сначала посмотрим на уравнение \( x^2 - y^2 = \sqrt[3]{a} \). Возведём обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от корня кубического: \[ (x^2 - y^2)^3 = a \]

Теперь воспользуемся формулой разности кубов: \[ (x^2 - y^2)^3 = (x - y)(x + y)(x^2 + 2xy + y^2) \] Подставляем в это уравнение \( a \), которое мы получили из предыдущей системы: \[ a = (x - y)(x + y)(x^2 + 2xy + y^2) \] \[ a = (x - y)(x + y)(x^2 + 2xy + y^2) = a \]

Теперь вернемся к первому уравнению системы \( x^2 + y^2 + xy = a \). Если сложить это уравнение с уравнением \( x^2 - y^2 = \sqrt[3]{a} \), получим: \[ (x^2 + y^2 + xy) + (x^2 - y^2) = a + \sqrt[3]{a} \] \[ 2x^2 + xy = a + \sqrt[3]{a} \]

Мы можем выразить \(y\) из этого уравнения: \[ y = \frac{a + \sqrt[3]{a} - 2x^2}{x} \]

Теперь подставим это выражение для \(y\) в уравнение \(x^2 - y^2 = \sqrt[3]{a}\): \[ x^2 - \left(\frac{a + \sqrt[3]{a} - 2x^2}{x}\right)^2 = \sqrt[3]{a} \]

После решения этого уравнения, мы получим квадратное уравнение относительно \(x^2\), решив которое, можно найти значения \(x^2\). После этого можно найти соответствующие значения \(y\) из выражения \(y = \frac{a + \sqrt[3]{a} - 2x^2}{x}\).

Теперь вернёмся к заданной системе уравнений. Найдя значения \(x\) и \(y\) из уравнений, мы сможем определить количество решений:

1. Если при подстановке найденных значений \(x\) и \(y\) оба уравнения выполняются, то это будет одно решение. 2. Если найдутся значения \(x\) и \(y\), при которых одно из уравнений не выполняется, то решений нет. 3. Также возможен случай, когда получается бесконечное количество решений из-за возможности равенства правых частей при различных значениях \(x\) и \(y\).

Таким образом, количество решений этой системы уравнений может быть одним, нулём или бесконечным, в зависимости от конкретных значений \(a\) и решений квадратного уравнения, которое мы получили выше.