Question

Упростите выражение:сtga+ctgB/sin(a+B)

Answer 1

$\frac{ctg \alpha +ctg \beta }{sin( \alpha + \beta )}= \frac{ \frac{cos \alpha }{sin \alpha } + \frac{cos \beta }{sin \beta } }{sin \alpha \cdot cos \beta +sin \beta \cdot cos \alpha } = \frac{cos \alpha \cdot sin \beta +cos \beta \cdot sin \alpha }{sin \alpha \cdot cos \beta \cdot (sin \alpha \cdot cos \beta +sin \beta \cdot cos \alpha )} =\\\\=\frac{1}{sin \alpha \cdot cos \beta }$

Answer 2

Для упрощения выражения ctga ctgB/sin(a+B) можно воспользоваться следующими тригонометрическими формулами:

- ctga = cos(a)/sin(a) - ctgB = cos(B)/sin(B) - sin(a+B) = sin(a)cos(B) + cos(a)sin(B)

Подставляя эти формулы в исходное выражение, получаем:

ctga ctgB/sin(a+B) = (cos(a)/sin(a)) * (cos(B)/sin(B)) / (sin(a)cos(B) + cos(a)sin(B))

Далее, сокращаем общие множители в числителе и знаменателе:

ctga ctgB/sin(a+B) = 1 / (sin(a) + cos(a)) * (sin(B) + cos(B))

Затем, применяем формулу двойного угла:

- sin(a) + cos(a) = sqrt(2) * sin(a + pi/4) - sin(B) + cos(B) = sqrt(2) * sin(B + pi/4)

Получаем окончательный ответ:

ctga ctgB/sin(a+B) = 1 / (sqrt(2) * sin(a + pi/4)) * (sqrt(2) * sin(B + pi/4)) = 1 / (2 * sin(a + pi/4) * sin(B + pi/4))