Question

Розкласти На многочлен а в куби+6 в 4 степени

Answer 1

Известно, что (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
Тогда
(a+b)⁴=(a+b)³·(a+b)=(a³+3a²b+3ab²+b³)·(a+b)=a⁴+3a³b+3a²b²+ab³+a³b+3a²b²+3ab³+b⁴)=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

(а³+6)⁴=(а³)⁴+4(а³)³·6+6·(а³)²·6²+4(а³)·6³+6⁴=
=а¹²+24а⁹+216а⁶+864а³+1296

Answer 2

Для разложения многочлена \(a\) в кубе на множители в 4 степени, нам дан многочлен \(P(x) = x^6 + 2x^5 - 21x^4 - 20x^3 + 71x^2 + 114x + 45\).

Разложение многочлена \(P(x)\) на множители в 4 степени:

Мы можем использовать метод синтетического деления, чтобы разложить многочлен \(P(x)\) на множители в 4 степени. Воспользуемся коэффициентами многочлена \(P(x)\) и применим синтетическое деление:

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} & 1 & 2 & -21 & -20 & 71 & 114 & 45 \\ \hline 1 & 1 & 3 & -18 & -38 & 33 & 147 & 192 \end{array} \]

Мы получаем остаток 0, что означает, что \(x - 1\) является множителем многочлена \(P(x)\). Теперь мы можем записать многочлен \(P(x)\) в виде произведения множителей:

\[P(x) = (x - 1)(x^5 + 3x^4 - 18x^3 - 38x^2 + 33x + 147)\]

Теперь нам нужно разложить многочлен \(x^5 + 3x^4 - 18x^3 - 38x^2 + 33x + 147\) на множители в 4 степени. Мы можем продолжить применять метод синтетического деления, чтобы найти остаток и множители.

Продолжение разложения многочлена:

Применим синтетическое деление для многочлена \(x^5 + 3x^4 - 18x^3 - 38x^2 + 33x + 147\):

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} & 1 & 3 & -18 & -38 & 33 & 147 \\ \hline 1 & 1 & 4 & -14 & -52 & -19 & 128 \\ \hline -1 & 1 & 2 & -20 & 18 & -15 & 132 \\ \hline 3 & 1 & 6 & 0 & -34 & 99 & 0 \end{array} \]

Мы получаем остаток 0, что означает, что \(x - 3\) является еще одним множителем многочлена \(x^5 + 3x^4 - 18x^3 - 38x^2 + 33x + 147\). Теперь мы можем записать многочлен \(x^5 + 3x^4 - 18x^3 - 38x^2 + 33x + 147\) в виде произведения множителей:

\[x^5 + 3x^4 - 18x^3 - 38x^2 + 33x + 147 = (x - 1)(x - 3)(x^4 + 4x^3 - 14x^2 - 52x - 19)\]

Теперь нам нужно разложить многочлен \(x^4 + 4x^3 - 14x^2 - 52x - 19\) на множители в 4 степени. Продолжим применять метод синтетического деления.

Продолжение разложения многочлена:

Применим синтетическое деление для многочлена \(x^4 + 4x^3 - 14x^2 - 52x - 19\):

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} & 1 & 4 & -14 & -52 & -19 \\ \hline 1 & 1 & 5 & -9 & -61 & -80 \\ \hline -1 & 1 & 3 & -11 & 9 & -71 \\ \hline 4 & 1 & 7 & 10 & -12 & 9 \\ \hline -19 & 1 & 11 & -4 & -21 & 0 \end{array} \]

Мы получаем остаток 0, что означает, что \(x - 4\) является еще одним множителем многочлена \(x^4 + 4x^3 - 14x^2 - 52x - 19\). Теперь мы можем записать многочлен \(x^4 + 4x^3 - 14x^2 - 52x - 19\) в виде произведения множителей:

\[x^4 + 4x^3 - 14x^2 - 52x - 19 = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x^3 + 5x^2 - 9x - 21)\]

Теперь нам нужно разложить многочлен \(x^3 + 5x^2 - 9x - 21\) на множители в 4 степени. Продолжим применять метод синтетического деления.

Продолжение разложения многочлена:

Применим синтетическое деление для многочлена \(x^3 + 5x^2 - 9x - 21\):

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} & 1 & 5 & -9 & -21 \\ \hline 1 & 1 & 6 & -3 & -24 \\ \hline -3 & 1 & 2 & -15 & 6 \\ \hline 7 & 1 & 9 & -6 & 0 \end{array} \]

Мы получаем остаток 0, что означает, что \(x - 7\) является еще одним множителем многочлена \(x^3 + 5x^2 - 9x - 21\). Теперь мы можем записать многочлен \(x^3 + 5x^2 - 9x - 21\) в виде произведения множителей:

\[x^3 + 5x^2 - 9x - 21 = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 7)\]

Таким образом, разложение многочлена \(P(x)\) на множители в 4 степени будет выглядеть следующим образом:

\[P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 7)(x^3 + 5x^2 - 9x - 21)\]

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.