Question

Cos(квадрат)2x+5 cos 2x=2 sin(квадрат) 2x

Answer 1

cos^2(2x)+5cos(2x) = 2sin^2(2x)

cos^2(2x)+5cos(2x) =2(1-cos^2(2x))

3cos^2(2x)+5cos(2x)-2=0

D=25+24=49

cos2x=1/3  -> x=плюс минус (arccos 1/3) /2 + pi*k

cos2x=-2  - не подходит

Answer 2

Чтобы решить уравнение \( \cos^2(2x) + 5\cos(2x) = 2 + \sin^2(2x) \), давайте преобразим его по шагам.

1. Используем тригонометрические тождества: \[ \cos^2(2x) = 1 - \sin^2(2x) \] Подставим это в уравнение: \[ 1 - \sin^2(2x) + 5\cos(2x) = 2 + \sin^2(2x) \]

2. Приведем подобные и перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 1 - \sin^2(2x) + 5\cos(2x) - 2 - \sin^2(2x) = 0 \]

3. Сгруппируем слагаемые: \[ 4\cos(2x) - 2\sin^2(2x) = 1 \]

4. Используем тождество \( \sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x) \): \[ 4\cos(2x) - 2(1 - \cos^2(2x)) = 1 \]

5. Раскроем скобки: \[ 4\cos(2x) - 2 + 2\cos^2(2x) = 1 \]

6. Перенесем все члены в одну сторону и приведем квадратное уравнение к стандартной форме: \[ 2\cos^2(2x) + 4\cos(2x) - 3 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \( \cos(2x) \), которое мы можем решить. Для этого используем квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 2 \), \( b = 4 \), и \( c = -3 \).

Решение квадратного уравнения можно найти с использованием формулы дискриминанта: \[ \cos(2x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Вычислим значения и получим два возможных значения для \( \cos(2x) \). Затем, используя обратные тригонометрические функции, найдем значения \( x \). Помните, что результаты могут быть уточнены с учетом ограничений на область значений для углов и периодичности тригонометрических функций.