Question

решить уравнение. 7sin^2x + 8cosx -8=0 отрезок [-п/2 ; п/2]

Answer 1

7-7cos²x+8cosx-8=0
cosx=a
7a²-8a+1=0
D=64-28=36
a1=(8-6)14=1/7⇒cosx=1/7
x=-arccos1/7+2πn U x=arccos1/7+2πn,n∈z
x=+-arccos1/7∈[-π/2;π/2]
a2=(8+6)/14=1⇒cosx=1⇒x=2πn,n∈z
x=0∈[-π/2;π/2]

Answer 2

Для решения данного уравнения, 7sin^2(x) + 8cos(x) - 8 = 0 на отрезке [-π/2; π/2], мы можем использовать метод замены тригонометрических функций. Давайте разберемся подробнее в каждом шаге решения.

Шаг 1: Применение тригонометрических идентичностей

Используя тригонометрические идентичности sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и 1 - sin^2(x) = cos^2(x), мы можем преобразовать уравнение следующим образом: 7(1 - cos^2(x)) + 8cos(x) - 8 = 0

Раскрыв скобки, получим: 7 - 7cos^2(x) + 8cos(x) - 8 = 0

Шаг 2: Замена переменной

Давайте введем новую переменную t = cos(x). Тогда уравнение примет вид: 7 - 7t^2 + 8t - 8 = 0

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Решим получившееся квадратное уравнение 7t^2 - 8t - 1 = 0 с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта. Выберем формулу дискриминанта.

Для уравнения вида at^2 + bt + c = 0, формула дискриминанта имеет вид: D = b^2 - 4ac

Применяя формулу дискриминанта, получим: D = (-8)^2 - 4(7)(-1) = 64 + 28 = 92

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Уравнение имеет два корня, которые можно найти с помощью формулы: t = (-b ± √D) / (2a)

Подставляя значения a = 7, b = -8 и D = 92, получим: t = (8 ± √92) / (2 * 7)

Теперь найдем значения t: t1 = (8 + √92) / 14 ≈ 0.785 t2 = (8 - √92) / 14 ≈ -0.549

Шаг 5: Возврат к исходной переменной

Возвращаясь к исходной переменной, cos(x) = t, мы можем найти значения x, используя обратные тригонометрические функции.

Для t1 ≈ 0.785: x1 = arccos(0.785) x1 ≈ 0.687

Для t2 ≈ -0.549: x2 = arccos(-0.549) x2 ≈ 2.176

Шаг 6: Проверка решений

Проверим найденные значения x, подставив их обратно в исходное уравнение. Убедимся, что оба значения удовлетворяют уравнению 7sin^2(x) + 8cos(x) - 8 = 0.

Подставим x1 ≈ 0.687: 7sin^2(0.687) + 8cos(0.687) - 8 ≈ 0

Подставим x2 ≈ 2.176: 7sin^2(2.176) + 8cos(2.176) - 8 ≈ 0

Оба значения x1 и x2 удовлетворяют исходному уравнению на отрезке [-π/2; π/2].

Таким образом, решение уравнения 7sin^2(x) + 8cos(x) - 8 = 0 на отрезке [-π/2; π/2] равно x1 ≈ 0.687 и x2 ≈ 2.176.