Question

Докажите, что выражение (m+5)^2-m^2 делится на 5 при любых натуральных значениях m.

Answer 1

(m+5)^2-m^2 = (m+5-m)*(m+5+m) = 5*(2m+5)

5(2m+5)/5 = 2m+5
значит, выражение делится на 5 при любых m

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение $(m+5)^2 - m^2$ делится на 5 при любых натуральных значениях m, мы можем использовать метод доказательства по индукции.

Доказательство по индукции:

*Шаг базы:* Для m = 1, выражение $(m+5)^2 - m^2$ принимает значение (1+5)^2 - 1^2 = 36 - 1 = 35, которое является нечётным числом, но не делится на 5.

*Индукционное предположение:* Предположим, что для некоторого k выражение $(k+5)^2 - k^2$ делится на 5.

*Индукционный шаг:* Рассмотрим выражение $(k+1+5)^2 - (k+1)^2 = (k+6)^2 - (k+1)^2$. Раскроем скобки и упростим:

$(k+6)^2 - (k+1)^2 = k^2 + 12k + 36 - k^2 - 2k - 1 = 10k + 35$

Мы видим, что выражение 10k + 35 является кратным 5 для любого натурального значения k. Следовательно, если $(k+5)^2 - k^2$ делится на 5, то и $(k+1+5)^2 - (k+1)^2$ также будет делиться на 5.

Таким образом, мы можем заключить, что выражение $(m+5)^2 - m^2$ будет делиться на 5 при любых натуральных значениях m, используя метод доказательства по индукции.