Question

Xy=3 X^2+y^2=10 Решите систему

Answer 1

Y=3/x, подставляем во 2 уравнение
x^2+9/x^2=10, x^4-10x^2+9=0,
x^2=t (замена), x=+-sqrt(t)
t^2-10t+9=0
D=100-36=64
t1=(10-8)/2=1 -> x1,2=+-1 -> y1,2=+-3
t2=9 -> x3,4=+-3 -> y3,4=+-1

Answer 2

Для решения системы уравнений \(xy = 3\) и \(x^2 + y^2 = 10\), можно воспользоваться различными методами. Один из эффективных способов - использование метода подстановки или метода исключения.

Давайте решим систему пошагово.

Уравнение 1: \(xy = 3\)

Уравнение 2: \(x^2 + y^2 = 10\)

Шаг 1: Используем уравнение \(xy = 3\) для выражения одной из переменных. Например, можно выразить \(y\) через \(x\):

\[y = \frac{3}{x}\]

Шаг 2: Подставим это выражение для \(y\) во второе уравнение:

\[x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[x^2 + \frac{9}{x^2} = 10\]

Умножим обе стороны на \(x^2\) для избавления от знаменателя:

\[x^4 + 9 = 10x^2\]

Переносим все члены в одну сторону:

\[x^4 - 10x^2 + 9 = 0\]

Шаг 3: Решим полученное уравнение. Для удобства введем замену \(u = x^2\):

\[u^2 - 10u + 9 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение, факторизуя или используя квадратное уравнение:

\[(u - 9)(u - 1) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения для \(u\): \(u = 9\) или \(u = 1\).

Шаг 4: Возвращаемся к переменной \(x\) через обратную замену:

Для \(u = 9\): \(x^2 = 9\), следовательно, \(x = \pm 3\).

Для \(u = 1\): \(x^2 = 1\), следовательно, \(x = \pm 1\).

Теперь, используя найденные значения \(x\), найдем соответствующие значения \(y\) с использованием уравнения \(xy = 3\).

Если \(x = 3\), то \(y = \frac{3}{3} = 1\).

Если \(x = -3\), то \(y = \frac{3}{-3} = -1\).

Если \(x = 1\), то \(y = \frac{3}{1} = 3\).

Если \(x = -1\), то \(y = \frac{3}{-1} = -3\).

Итак, система имеет четыре решения: \((3, 1)\), \((-3, -1)\), \((1, 3)\), \((-1, -3)\).