Question

применении производно к исследованию функций F(x)=x^4-2x^2

Answer 1

 производная   4x^3 - 4x

4x^3 -4x =0

4x(x-1)(x+1)=0

 Отмечаем на координатной прямой и проверяем знаки производной на каждом промежутке

возр (-1; 0)  (1; до бесконечности)

убывает (-бесконеч ;  -1)(0;  1)

 min  = -1     min = 1

max = 0

Answer 2

Для исследования функции F(x) = x^4 - 2x^2 с помощью производной, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции F(x) по переменной x. Для этого применим правило дифференцирования степенной функции и получим:

F'(x) = 4x^3 - 4x

2. Найдем точки экстремума функции F(x), анализируя производную. Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

4x^3 - 4x = 0

Факторизуем это уравнение:

4x(x^2 - 1) = 0

Получаем два решения: x = 0 и x = ±1.

3. Определим тип каждой точки экстремума, используя вторую производную. Для этого найдем вторую производную функции F(x):

F''(x) = 12x^2 - 4

Подставим каждую точку экстремума во вторую производную и проанализируем знаки:

- Для x = 0: F''(0) = -4 < 0. Точка x = 0 является локальным максимумом. - Для x = 1: F''(1) = 8 > 0. Точка x = 1 является локальным минимумом. - Для x = -1: F''(-1) = 8 > 0. Точка x = -1 является локальным минимумом.

4. Определим поведение функции F(x) на бесконечностях. Для этого проанализируем пределы функции при x стремящемся к плюс и минус бесконечности:

- При x -> +∞: lim(x->+∞) F(x) = +∞. Это означает, что функция F(x) неограниченно возрастает при x стремящемся к плюс бесконечности. - При x -> -∞: lim(x->-∞) F(x) = +∞. Это означает, что функция F(x) неограниченно возрастает при x стремящемся к минус бесконечности.

5. Наконец, нарисуем график функции F(x) = x^4 - 2x^2, используя полученные результаты. Мы имеем локальный максимум в точке x = 0 и локальные минимумы в точках x = ±1. Функция неограниченно возрастает при x стремящемся к плюс и минус бесконечности.

Графический образ функции будет иметь вид "U" с вершиной в точке x = 0 и локальными минимумами в точках x = ±1.