Question

СрочноНайдите промежутки возрастания и убывания функции: y=3x^2-4x+5

Answer 1

План действий такой: 1) ищем производную
2) приравниваем её к нулю и решаем уравнение,
3) полученные корни ставим на числовой прямой и проверяем знаки производной
4) пишем ответ
Начали.
1) производная = 6х - 4
2) 6х - 4 = 0
     6х = 4
     х = 2/3
 3) -∞    -        2/3    +      +∞  
4)   убывание    возрастание

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции \(y = 3x^2 - 4x + 5\), нужно определить знак её производной. Производная функции показывает, как меняется значение функции при изменении аргумента. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна — убывает.

1. Нахождение производной: \[y = 3x^2 - 4x + 5\]

Вычислим производную \(y'\) по \(x\): \[y' = 6x - 4\]

2. Нахождение точек, где производная равна нулю: \[6x - 4 = 0\]

Решив уравнение, получим: \[x = \frac{2}{3}\]

3. Составление знаковой таблицы:

Теперь мы можем выбрать тестовые точки для каждого из интервалов, образованных корнями уравнения \(6x - 4 = 0\). Три интервала будут:

- \((-\infty, \frac{2}{3})\) - \((\frac{2}{3}, +\infty)\)

Выберем в каждом интервале точку для проверки. Например, взяв \(x = 0\) для первого интервала и \(x = 1\) для второго, подставим их в производную:

Для интервала \((-\infty, \frac{2}{3})\): \[y'(-1) = 6(-1) - 4 = -10\]

Для интервала \((\frac{2}{3}, +\infty)\): \[y'(1) = 6(1) - 4 = 2\]

4. Определение знаков на интервалах:

- На интервале \((-\infty, \frac{2}{3})\), производная \(y'\) отрицательна, следовательно, функция \(y\) убывает. - На интервале \((\frac{2}{3}, +\infty)\), производная \(y'\) положительна, следовательно, функция \(y\) возрастает.

5. Вывод:

- Функция \(y = 3x^2 - 4x + 5\) убывает на интервале \((-\infty, \frac{2}{3})\). - Функция \(y = 3x^2 - 4x + 5\) возрастает на интервале \((\frac{2}{3}, +\infty)\).