Question

49^x+49^(-x)=38, найти 7^x-7^(-x)

Answer 1

Решение смотри на фотографии

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте введем замену. Обозначим \(49^x\) за \(y\), тогда у нас будет:

\[y + \frac{1}{y} = 38.\]

Умножим обе стороны на \(y\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[y^2 + 1 = 38y.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду:

\[y^2 - 38y + 1 = 0.\]

Теперь используем квадратное уравнение для нахождения \(y\):

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -38\), и \(c = 1\). Подставим значения:

\[y = \frac{38 \pm \sqrt{(-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}.\]

Вычислим это выражение:

\[y = \frac{38 \pm \sqrt{1444 - 4}}{2}.\]

\[y = \frac{38 \pm \sqrt{1440}}{2}.\]

\[y = \frac{38 \pm 12\sqrt{10}}{2}.\]

Теперь у нас есть два значения \(y\):

\[y_1 = 19 + 6\sqrt{10},\] \[y_2 = 19 - 6\sqrt{10}.\]

Теперь вернемся к изначальной замене и найдем значения для \(x\):

\[49^x = 19 + 6\sqrt{10},\] \[49^x = 19 - 6\sqrt{10}.\]

Для первого случая:

\[x = \frac{\log(19 + 6\sqrt{10})}{\log(49)}.\]

Для второго случая:

\[x = \frac{\log(19 - 6\sqrt{10})}{\log(49)}.\]

Теперь, когда у нас есть значения для \(x\), мы можем подставить их в уравнение \(7^x - 7^{-x}\), чтобы найти ответ:

\[7^x - 7^{-x} = 7^{\frac{\log(19 + 6\sqrt{10})}{\log(49)}} - 7^{\frac{\log(19 - 6\sqrt{10})}{\log(49)}}.\]

Это может показаться сложным для ручного вычисления, поэтому лучше воспользоваться калькулятором или программой для численного вычисления.