Question

Вычислить интегралы \int\limits^3_0 {(3 x^{3} -2 x^{2} )} \, dx \\ \int\limits^2_1 {(2x-1)} \, dx

Answer 1

$\int\limits^3_0 {(3x^3-2x^2)} \, dx =( 3\cdot \frac{x^4}{4} -2\cdot \frac{x^3}{3})|_0^3 =\frac{3}{4}\cdot 3^4-\frac{2}{3}\cdot 3^3=\frac{171}{4}\\\\\\ \int\limits^2_1 {(2x-1)} \, dx =(x^2-x)|_1^2=(4-2)-(1-1)=2$

Answer 2

Для вычисления данных интегралов, мы будем использовать метод интегрирования по частям и метод подстановки. Давайте начнем с первого интеграла:

$$\int\limits^3_0 (3+x^{3}-2+x^{2})\, dx$$

Мы можем разбить данный интеграл на сумму трех интегралов:

$$\int\limits^3_0 3\, dx + \int\limits^3_0 x^{3}\, dx - \int\limits^3_0 2\, dx + \int\limits^3_0 x^{2}\, dx$$

Вычисление первого интеграла

Первый интеграл $\int\limits^3_0 3\, dx$ представляет собой интеграл от постоянной функции. Интеграл от постоянной функции равен произведению значения функции на длину интервала интегрирования:

$$\int\limits^3_0 3\, dx = 3 \cdot (3-0) = 3 \cdot 3 = 9$$

Вычисление второго интеграла

Второй интеграл $\int\limits^3_0 x^{3}\, dx$ можно вычислить с использованием формулы для интеграла от степенной функции:

$$\int x^{n}\, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$$

Применяя данную формулу, получаем:

$$\int\limits^3_0 x^{3}\, dx = \frac{1}{3+1} x^{3+1} \Bigg|_0^3 = \frac{1}{4} x^{4} \Bigg|_0^3 = \frac{1}{4} \cdot (3^4-0^4) = \frac{1}{4} \cdot 81 = 20.25$$

Вычисление третьего интеграла

Третий интеграл $\int\limits^3_0 2\, dx$ также представляет собой интеграл от постоянной функции:

$$\int\limits^3_0 2\, dx = 2 \cdot (3-0) = 2 \cdot 3 = 6$$

Вычисление четвертого интеграла

Четвертый интеграл $\int\limits^3_0 x^{2}\, dx$ также можно вычислить с использованием формулы для интеграла от степенной функции:

$$\int x^{n}\, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$$

Применяя данную формулу, получаем:

$$\int\limits^3_0 x^{2}\, dx = \frac{1}{2+1} x^{2+1} \Bigg|_0^3 = \frac{1}{3} x^{3} \Bigg|_0^3 = \frac{1}{3} \cdot (3^3-0^3) = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9$$

Итоговый результат

Теперь, сложим значения всех четырех интегралов, чтобы получить итоговый результат:

$$\int\limits^3_0 (3+x^{3}-2+x^{2})\, dx = 9 + 20.25 - 6 + 9 = 32.25$$

Теперь, перейдем ко второму интегралу:

$$\int\limits^2_1 (2x-1)\, dx$$

Вычисление второго интеграла

Данный интеграл $\int\limits^2_1 (2x-1)\, dx$ также можно вычислить с использованием формулы для интеграла от линейной функции:

$$\int (ax+b)\, dx = \frac{1}{2} a x^{2} + b x + C$$

Применяя данную формулу, получаем:

$$\int\limits^2_1 (2x-1)\, dx = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{2} + (-1) x \Bigg|_1^2 = x^{2} - x \Bigg|_1^2 = (2^2-2) - (1^2-1) = 2$$

Итоговый результат

Таким образом, значение второго интеграла равно 2.

Итого, мы получили:

$$\int\limits^3_0 (3+x^{3}-2+x^{2})\, dx = 32.25$$ $$\int\limits^2_1 (2x-1)\, dx = 2$$