Question

Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства 1/32<8^-3x+2<256

Answer 1

$\frac{1}{32} \ \textless \ 8^{-3x+2}\ \textless \ 256\\\\2^{-5}\ \textless \ 2^{-9x+6}\ \textless \ 2^{8}\\\\-5\ \textless \ -9x+6\ \textless \ 8\\\\-11\ \textless \ -9x\ \textless \ 2 \\\\-\frac{2}{9}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{11}{9} \\\\-\frac{2}{9}\ \textless \ x\ \textless \ 1\frac{2}{9}\\\\natyralnoe \; \; reshenie:\; \; \; x=1\; .$

Answer 2

 1/32<8^-3x+2<256
1/2⁻⁵ < (2³)^(-3x+2) < 2⁸
-5<3(2-3x)<8
-5<6-9x<8
-11<-9x<2
-2/9<x<11/9
x=1

Answer 3

Для решения данного неравенства, мы можем применить логарифмы и неравенства. Давайте разберемся подробнее.

Разложение неравенства

Неравенство, которое нам дано, выглядит следующим образом:

1/32 < 8^(-3x+2) < 256

Мы можем разложить это неравенство на два отдельных неравенства:

1/32 < 8^(-3x+2) (Неравенство 1) 8^(-3x+2) < 256 (Неравенство 2)

Первое неравенство

Рассмотрим первое неравенство:

1/32 < 8^(-3x+2)

Чтобы избавиться от степени в правой части неравенства, мы можем взять логарифм от обеих сторон неравенства. Давайте возьмем логарифм по основанию 8:

log8(1/32) < log8(8^(-3x+2))

Логарифмические свойства

У нас есть несколько свойств логарифмов, которые мы можем использовать:

1. log a(b) = c тогда и только тогда, когда a^c = b 2. log a(b * c) = log a(b) + log a(c) 3. log a(b / c) = log a(b) - log a(c)

Применение свойств логарифмов

Применим свойства логарифмов к нашему неравенству:

log8(1/32) < log8(8^(-3x+2))

По свойству 1, мы можем переписать левую часть неравенства:

log8(1) - log8(32) < (-3x+2) * log8(8)

Упростим это:

0 - log8(32) < (-3x+2) * 1

Вычисление логарифма

Давайте вычислим логарифм по основанию 8 для числа 32:

log8(32) = y

Это равносильно уравнению:

8^y = 32

Решение уравнения

Чтобы найти значение y, мы можем записать 32 как степень числа 8:

8^y = 8^5

Сравнивая экспоненты, мы получаем:

y = 5

Возвращаемся к неравенству

Теперь, когда мы знаем, что Log8(32) равно 5, мы можем вернуться к нашему неравенству:

0 - 5 < (-3x+2) * 1

-5 < -3x + 2

Решение первого неравенства

Теперь мы можем решить это неравенство:

-5 < -3x + 2

Вычтем 2 из обеих сторон:

-7 < -3x

Изменим направление неравенства, поменяв знак:

3x < 7

Разделим обе стороны на 3:

x < 7/3

Таким образом, первое неравенство имеет решение x < 7/3.

Второе неравенство

Теперь рассмотрим второе неравенство:

8^(-3x+2) < 256

Для решения этого неравенства мы снова можем использовать логарифмы. Возьмем логарифм по основанию 8 от обеих сторон:

log8(8^(-3x+2)) < log8(256)

Применение свойства логарифмов

Применим свойство логарифма:

(-3x+2) * log8(8) < log8(256)

Упростим это:

(-3x+2) * 1 < log8(256)

-3x + 2 < log8(256)

Вычисление логарифма

Вычислим логарифм по основанию 8 для числа 256:

log8(256) = y

Это равносильно уравнению:

8^y = 256

Решение уравнения

Чтобы найти значение y, мы можем записать 256 как степень числа 8:

8^y = 8^4

Сравнивая экспоненты, мы получаем:

y = 4

Возвращаемся к неравенству

Теперь, когда мы знаем, что Log8(256) равно 4, мы можем вернуться к нашему неравенству:

-3x + 2 < 4

Решение второго неравенства

Теперь мы можем решить это неравенство:

-3x + 2 < 4

Вычтем 2 из обеих сторон:

-3x < 2

Разделим обе стороны на -3 и поменяем направление неравенства:

x > -2/3

Таким образом, второе неравенство имеет решение x > -2/3.

Общее решение

Так как мы получили два неравенства, первое неравенство имеет решение x < 7/3, а второе неравенство имеет решение x > -2/3. Чтобы найти общее решение, мы можем объединить эти два решения:

-2/3 < x < 7/3

Таким образом, общее решение данного неравенства - это интервал от -2/3 до 7/3, не включая граничные значения.