Question

Как решать уравнение третьей степени (кубическое уравнение) вида

Answer 1

Сначала подбирать корни, являющиеся делителями свободного члена и пытаться разложить на множители, потом, если это не получилось приводить к каноническому виду
y^3+py+q=0, делая замену:
х=y-b/3a и дальше решать по методу Кардано. Это метод сложный, очень легко ошибиться. Лучше какой-то онлайн решатель по методу Кардано найти и по нему решать или хотя бы проверять.

Answer 2

Варианты решения таковы:
1)Сначала подбираем такое х,чтобы d:x=n(где n-целое число)
Проще говоря,ищем делители числа d,
И перебираем эти х1,чтобы соблюдалось наше куб.ур-ие.
Потом делим куб.ур-ие на выражение (х-х1),получаем квадратное уравнение,ну далее по стандарту,решаем квадратное уравнение.
Пример:
$x^3-2x^2-9x+18\\x=1;1-2-9+18\ne0\\x=-1;-1-2+9+18\ne0\\x=2;8-8-18+18=0\\x_1=2\\x^3-2x^2-9x+18:(x-2)=x^2-9\\x^2-9=0\\x=^+_-3\\x_1=2;x_2=-3;x_3=3$
Еще вариант группировка:
$x^3-2x^2-9x+18=x^2(x-2)-9(x-2)=(x^2-9)(x-2)=0\\x=^+_-3;x=2$
Ну еще вариант,если кубическое неполное(т.е нет к примеру или х2 или х)
можно через графики:
$x^3-2x^2-9x+18=0\\x^3=2x^2+9x-18$
Строим графики левой и правой частей,находим точки пересечения,проводим перпендикуляры к оси ОХ.

Answer 3

Решение уравнения третьей степени (кубического уравнения)

Уравнение третьей степени, или кубическое уравнение, имеет вид:

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,

где a, b, c и d - коэффициенты уравнения.

Решение кубического уравнения может быть достаточно сложным и включает несколько методов, таких как метод Кардано, метод Виета и метод Горнера. Давайте рассмотрим каждый из них подробнее.

Метод Кардано

Метод Кардано является одним из классических методов решения кубических уравнений. Он основан на замене переменной и приведении уравнения к специальному виду.

1. Приведите уравнение к виду, в котором отсутствует член с квадратом переменной. Для этого можно выполнить замену переменной x = y - b/3a. 2. Подставьте новую переменную в исходное уравнение и упростите его. 3. Разложите полученное уравнение на множители и решите полученные квадратные уравнения. 4. Найдите значения переменной y. 5. Восстановите значения переменной x с помощью обратной замены x = y - b/3a.

Метод Виета

Метод Виета основан на использовании корней уравнения для нахождения его коэффициентов. Этот метод особенно полезен, когда известны некоторые корни уравнения.

1. Предположим, что уравнение имеет корни x1, x2 и x3. 2. Используя теорему Виета, найдите связь между корнями и коэффициентами уравнения. 3. Решите полученные системы уравнений для нахождения значений коэффициентов. 4. Подставьте найденные значения коэффициентов в исходное уравнение и решите его.

Метод Горнера

Метод Горнера является итерационным методом, который позволяет найти приближенные значения корней кубического уравнения.

1. Приведите уравнение к виду x^3 + px + q = 0. 2. Выберите начальное приближение для корня уравнения. 3. Используя метод Горнера, выполните итерации для нахождения приближенного значения корня. 4. Повторите итерации до достижения заданной точности. 5. Подставьте найденные значения корней в исходное уравнение и проверьте их.

Примечание

Решение кубического уравнения может быть сложным и требует математических навыков. В некоторых случаях уравнение может иметь три действительных корня, два действительных и один комплексный корень или три комплексных корня.

Обратите внимание, что приведенные методы являются общими подходами к решению кубических уравнений и могут быть дополнены другими методами в зависимости от конкретного уравнения.

Примеры

Давайте рассмотрим несколько примеров решения кубических уравнений:

Пример 1:

Решим уравнение x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 с использованием метода Кардано.

1. Приведем уравнение к виду без квадратного члена, выполнив замену x = y - (-6)/(3*1): (y - 2)^3 - 6(y - 2)^2 + 11(y - 2) - 6 = 0.

2. Упростим уравнение: y^3 - 9y^2 + 29y - 30 = 0.

3. Разложим уравнение на множители: (y - 3)(y - 2)(y - 5) = 0.

4. Найдем значения переменной y: y = 3, y = 2, y = 5.

5. Восстановим значения переменной x: x = y - (-6)/(3*1).

Поэтому корни уравнения равны: x = 5, x = 4, x = 7.

Пример 2:

Решим уравнение x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0 с использованием метода Виета.

1. Предположим, что уравнение имеет корни x1, x2 и x3. 2. Используя теорему Виета, найдем связь между корнями и коэффициентами уравнения: x1 + x2 + x3 = -2, x1*x2 + x1*x3 + x2*x3 = -5, x1*x2*x3 = 6. 3. Решим полученные системы уравнений: x1 = -3, x2 = 1, x3 = 2.

Поэтому корни уравнения равны: x = -3, x = 1, x = 2.

Пример 3:

Решим уравнение x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0 с использованием метода Горнера.

1. Приведем уравнение к виду x^3 + px + q = 0: x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0.

2. Выберем начальное приближение для корня уравнения, например, x = 1.

3. Используя метод Горнера, выполним итерации для нахождения приближенного значения корня: - Первая итерация: x = 1. - Вторая итерация: x = 1.5. - Третья итерация: x = 1.4. - Четвертая итерация: x = 1.414.

4. Подставим найденное значение корня в исходное уравнение и проверим его: (1.414)^3 - 4(1.414)^2 + 5(1.414) - 2 ≈ 0.

Поэтому приближенный корень уравнения равен x ≈ 1.414.

Примечание: В реальных ситуациях решение кубических уравнений может потребовать использования более сложных методов или численных методов, особенно если уравнение не имеет аналитического решения.