Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2+1, y= 0, y= -1, x= 2

Answer 1

$\\\int \limits_{-1}^2x^2+1\/ dx=\\ \Big[\frac{x^3}{3}+x\Big]_{-1}^2=\\ \frac{2^3}{3}+2-(\frac{(-1)^3}{3}+(-1))=\\ \frac{8}{3}+2+\frac{1}{3}+1=\\ \frac{9}{3}+3=\\ 3+3=6$

Answer 2

наверное ты неправельно переписал задание

Answer 3

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нам необходимо найти точки пересечения между ними и построить график.

Первым шагом найдем точки пересечения между линиями:

1. y = x^2 + 1 и y = 0: Подставляем y = 0 в уравнение y = x^2 + 1: 0 = x^2 + 1 x^2 = -1 Решение этого уравнения в действительных числах отсутствует, поэтому эти две линии не пересекаются.

2. y = x^2 + 1 и y = -1: Подставляем y = -1 в уравнение y = x^2 + 1: -1 = x^2 + 1 x^2 = -2 Решение этого уравнения в действительных числах отсутствует, поэтому эти две линии не пересекаются.

3. y = x^2 + 1 и x = 2: Подставляем x = 2 в уравнение y = x^2 + 1: y = 2^2 + 1 y = 4 + 1 y = 5 Таким образом, эти две линии пересекаются в точке (2, 5).

Теперь построим график этих линий:

Для уравнения y = x^2 + 1 получаем параболу, симметричную относительно оси y и с вершиной в точке (0, 1). Она открывается вверх.

Для уравнения y = 0 получаем горизонтальную прямую, проходящую через ось x на уровне y = 0.

Для уравнения y = -1 получаем горизонтальную прямую, проходящую на уровне y = -1.

Из графика видно, что фигура ограничена параболой и горизонтальными прямыми, а именно: - Слева ограничена параболой и горизонтальной прямой на уровне y = -1. - Справа ограничена параболой и горизонтальной прямой на уровне y = 0. - Сверху ограничена горизонтальной прямой на уровне y = 5.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - границы области, f(x) - верхняя граница, g(x) - нижняя граница.

В данном случае, границы области -2 и 2, верхняя граница f(x) = x^2 + 1, нижняя граница g(x) = -1.

S = ∫[-2,2] (x^2 + 1 - (-1)) dx S = ∫[-2,2] (x^2 + 2) dx

Чтобы вычислить данный интеграл, нам необходимо найти первообразную функцию от x^2 + 2. Проинтегрируем:

∫ (x^2 + 2) dx = (1/3)x^3 + 2x + C,

где C - постоянная интегрирования.

Подставляем границы:

S = (1/3)(2^3) + 2(2) - (1/3)(-2^3) - 2(-2) S = (8/3) + 4 + (8/3) + 4 S = 8/3 + 8/3 + 4 + 4 S = 16/3 + 8 + 4 S = 16/3 + 24/3 + 12/3 S = 52/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями y = x^2 + 1, y = 0, y = -1 и x = 2, равна 52/3 или приближенно 17.33 единицы площади.