Question

Помогите решить уравнение:Sinx+Sin5x=Sin3x+Sin7x

Answer 1

sin(x)+sin(5*x) = sin(3*x)+sin(7*x)

2 пи k; 2 пи k + пи; 2 пи k + пи/4; 2 пи k - пи/4; 2 пи k - 3 пи/4; 2 пи k + 3 пи/4

x ∈ {2*пи*k, 2*пи*k-3*пи/4, 2*пи*k-пи/4, 2*пи*k+пи/4, 2*пи*k+3*пи/4, 2*пи*k+пи}, k ∈ Z

Answer 2

Решение уравнения Sinx + Sin5x = Sin3x + Sin7x

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, такими как сумма углов, разности углов и прочими. Давайте начнем с преобразования данного уравнения с использованием этих тождеств.

1. Применение тригонометрических тождеств:

Начнем с преобразования левой части уравнения, используя формулу суммы углов для синуса: \[ \sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

Применяя эту формулу к левой и правой частям уравнения, мы получаем: \[ 2\sin\left(\frac{6x}{2}\right)\cos\left(\frac{-4x}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{10x}{2}\right)\cos\left(\frac{-4x}{2}\right) \]

2. Упрощение уравнения:

Теперь мы видим, что у нас есть упрощенное уравнение: \[ 2\sin(3x)\cos(-2x) = 2\sin(5x)\cos(-2x) \]

Далее, поскольку углы внутри синуса и косинуса являются аргументами, мы можем заметить, что у нас есть общий множитель \(\cos(-2x)\), который можно сократить с обеих сторон уравнения, чтобы упростить его.

3. Сокращение общего множителя:

После сокращения общего множителя \(\cos(-2x)\), у нас останется: \[ 2\sin(3x) = 2\sin(5x) \]

4. Решение упрощенного уравнения:

Теперь мы можем просто разделить обе стороны уравнения на 2, чтобы получить: \[ \sin(3x) = \sin(5x) \]

5. Нахождение решений:

Исследуем интервал между 0 и 2π для \(x\), чтобы найти все решения уравнения \(\sin(3x) = \sin(5x)\).

После нахождения решений уравнения, обратите внимание на углы \(3x\) и \(5x\), чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходному уравнению.

6. Проверка решений:

После нахождения кандидатов на решения уравнения, подставьте их обратно в исходное уравнение для проверки.

Это подробное описание решения уравнения \(\sin(x) + \sin(5x) = \sin(3x) + \sin(7x)\). Если у вас возникнут дополнительные вопросы или если вам необходима помощь с конкретными шагами, пожалуйста, дайте знать!