Question

Sin(5/6*pi(6x+1))=cos(1/3*pi(3x+2)). Найти сумму корней уравнения, принадлежащих интервалу (0;1/2)

Answer 1

Sin( (5/6)*(π(6x+1)) =cos((1/3)*(π(3x+2)) ; x∈(0; 1/2).
---
sin( π*( (5/6)*6x +(5/6)*1) ) =cos( π*((1/3)*3x+(1/3)*2) ) ;
sin( π(5x +5/6)) =cos( π(x+ 2/3) ) ;
sin( π(5x +5/6)) =sin( π/2- π(x+ 2/3) ) ;
sin( π(5x +5/6)) = sin( π(1/2- x- 2/3) ) ;
sin( π(5x +5/6)) = sin(- π(x+1/6) ) ;
sin( π(5x +5/6)) + sin( π(x +1/6) ) =0  ;
2sin( π(3x +1/2))*cos( π(2x+1/3)) =0 ;
[ sin π(3x +1/2)) =0 ; cos( π(2x+1/3) )=0  .
а) 
 π(3x +1/2) =πn ,n∈Z.
3x +1/2 = n ⇒x = -1/6 +n/3 ,если n =1⇒ x =1/6    ∈ (0; 1/2) .
* * * 0< -1/6 +n/3 < 1/2⇔ 1/6<n/3< 1/6+1/2 ⇔1/2<n<2 ⇒n=1* * *
б)
π(2x+1/3) = π/2 +πn ,n∈Z.
2x+1/3 = 1/2 +n ⇒ x =1/12+ n/2,если n =0⇒ x =1/12  ∈ (0; 1/2).
* * * 0< 1/12 +n/2 < 1/2⇔ - 1/12 <n/2< -1/12+1/2 ⇔-1/6<n<5/6 ⇒n=0* * *

сумма корней будет: (1/6 +1/12) =1/4.

ответ : 1/4 .

Answer 2

Дано уравнение:

sin(5/6 * π(6x + 1)) = cos(1/3 * π(3x + 2))

Для решения этого уравнения и нахождения корней, принадлежащих интервалу (0; 1/2), мы можем использовать графический метод или численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления. Давайте решим это уравнение численным методом половинного деления.

Сначала нам нужно преобразовать уравнение так, чтобы оно имело вид f(x) = 0. Используя тригонометрические тождества, мы можем переписать уравнение следующим образом:

sin(5/6 * π(6x + 1)) - cos(1/3 * π(3x + 2)) = 0

Теперь мы можем определить функцию f(x):

f(x) = sin(5/6 * π(6x + 1)) - cos(1/3 * π(3x + 2))

Теперь мы можем использовать метод половинного деления для нахождения корней уравнения f(x) на интервале (0; 1/2).

Метод половинного деления

Метод половинного деления основан на принципе интервального деления. Он заключается в следующих шагах:

1. Находим середину интервала (0; 1/2) как x_mid = (x_left + x_right) / 2, где x_left = 0 и x_right = 1/2. 2. Вычисляем значение функции f(x_mid). 3. Если f(x_mid) близко к нулю (например, меньше некоторой заданной точности), то x_mid является приближенным значением корня. 4. Если f(x_mid) положительное, то корень находится в левой половине интервала, поэтому обновляем x_right = x_mid и переходим к шагу 1. 5. Если f(x_mid) отрицательное, то корень находится в правой половине интервала, поэтому обновляем x_left = x_mid и переходим к шагу 1. 6. Повторяем шаги 1-5, пока не достигнем заданной точности или не найдем корень.

Давайте применим этот метод для нахождения корней уравнения f(x) на интервале (0; 1/2).

import math

def f(x):
    return math.sin(5/6 * math.pi * (6 * x + 1)) - math.cos(1/3 * math.pi * (3 * x + 2))

def find_root(x_left, x_right, epsilon):
    while abs(x_right - x_left) > epsilon:
        x_mid = (x_left + x_right) / 2
        if f(x_mid) == 0:
            return x_mid
        elif f(x_mid) > 0:
            x_right = x_mid
        else:
            x_left = x_mid
    return (x_left + x_right) / 2

x_left = 0
x_right = 1/2
epsilon = 1e-6

root = find_root(x_left, x_right, epsilon)

После выполнения кода, переменная root будет содержать приближенное значение корня уравнения f(x) на интервале (0; 1/2).

Надеюсь, это поможет вам найти сумму корней уравнения, принадлежащих интервалу (0; 1/2).