Question

X^2+2x-8/-x^2+5x-6 >= 0 укажите целое количество решений этого неравенства

Answer 1

$\frac{x^2+2x-8}{-x^2+5x-6} \geq 0 \\ \frac{x^2+2x-8}{x^2-5x+6} \leq 0 \\\frac{(x+4)(x-2)}{(x-2)(x-3)} \leq 0$

 +         -          -        +
--- [-4] --- (2) --- (3) ---> x

x ∈ [-4 ; 2) ∪ (2; 3)
В этом промежутке 6 целочисленных решений: x ∈ {-4; -3; -2; -1; 0; 1}.
Ответ: 6.

Answer 2

Чтобы определить количество решений данного неравенства, нам нужно проанализировать его график. Давайте рассмотрим каждую часть неравенства по отдельности.

Начнем с выражения в числителе: x^2 + 2x - 8. Это квадратное уравнение, и чтобы найти его корни, мы можем использовать формулу дискриминанта. Дискриминант (D) вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.

В данном случае, a = 1, b = 2 и c = -8. Подставляя эти значения в формулу дискриминанта, мы получаем D = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36. Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня.

Теперь рассмотрим выражение в знаменателе: -x^2 + 5x - 6. Опять же, это квадратное уравнение, и мы можем найти его корни, вычислив дискриминант. Здесь a = -1, b = 5 и c = -6. Подставляя значения в формулу дискриминанта, мы получаем D = 5^2 - 4(-1)(-6) = 25 - 24 = 1. Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два действительных корня.

Теперь, чтобы определить, сколько решений имеет исходное неравенство, мы должны посмотреть на графики обоих квадратных уравнений и их области пересечения.

График выражения в числителе x^2 + 2x - 8 будет параболой, которая открывается вверх. Мы знаем, что у этой параболы есть два действительных корня.

График выражения в знаменателе -x^2 + 5x - 6 также будет параболой, но он открывается вниз. У этой параболы также есть два действительных корня.

Теперь давайте рассмотрим область, где значения неравенства больше или равны нулю. Чтобы это сделать, мы должны найти точки пересечения графиков двух квадратных уравнений.

Поскольку оба уравнения имеют два действительных корня, они пересекаются в четырех точках. Однако, чтобы определить, в какой области значения неравенства больше или равны нулю, нам нужно проанализировать знаки каждого квадратного уравнения в областях между корнями.

После анализа графиков и знаков квадратных уравнений, мы можем сделать следующие выводы:

- В интервале между корнями первого квадратного уравнения (x^2 + 2x - 8), значение этого выражения положительное, так как парабола открывается вверх. Этот интервал находится между корнями -4 и 2.

- В интервале между корнями второго квадратного уравнения (-x^2 + 5x - 6), значение этого выражения отрицательное, так как парабола открывается вниз. Этот интервал находится между корнями 2 и 3.

Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что неравенство x^2 + 2x - 8 / -x^2 + 5x - 6 >= 0 имеет два интервала, в которых значение неравенства больше или равно нулю. Эти интервалы находятся между -4 и 2, а также между 3 и плюс бесконечность.

Таким образом, количество решений этого неравенства равно двум.