Question

Sin^2x/1-sin x=2 tg^2x

Answer 1

sin^2x/(1-sinx)=2sin^2/cos^2x

sinx=0

x=Пk

cos^2=1-sin^2x

sinx=t

1/1-t=2/1-t^2

1-t^2=2(1-t)

1-t=0

cosx не равен 0. область определения тангенса.

1+t=2

t=1

ответ x=Пk

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение:

$$\frac{\sin^2(x)}{1-\sin(x)} = 2 + \tan^2(x)$$

Шаг 1: Приведение уравнения к общему знаменателю

Для начала, умножим обе части уравнения на $(1-\sin(x))$:

$$\sin^2(x) = (2 + \tan^2(x))(1-\sin(x))$$

Шаг 2: Раскрытие скобок

Раскроем скобки с правой стороны уравнения:

$$\sin^2(x) = 2(1-\sin(x)) + \tan^2(x)(1-\sin(x))$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Упростим правую часть уравнения:

$$\sin^2(x) = 2 - 2\sin(x) + \tan^2(x) - \sin(x)\tan^2(x)$$

Шаг 4: Замена $\sin(x)$ и $\tan(x)$ через $\cos(x)$

В данном уравнении мы имеем функции $\sin(x)$ и $\tan(x)$. Мы можем заменить их через $\cos(x)$ с использованием тригонометрических тождеств. Помните, что $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

Заменим $\sin(x)$ и $\tan(x)$:

$$\sin^2(x) = 2 - 2\sin(x) + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

Шаг 5: Приведение подобных и упрощение

Приведем подобные члены и упростим выражение:

$$\sin^2(x) - \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 2 - 2\sin(x) - \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}$$

$$\frac{\sin^2(x)\cos^2(x) - \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 2 - 2\sin(x) - \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}$$

$$\frac{\sin^2(x)(\cos^2(x) - 1)}{\cos^2(x)} = 2 - 2\sin(x) - \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}$$

Используем тригонометрическое тождество $\cos^2(x) - 1 = -\sin^2(x)$:

$$\frac{-\sin^2(x)\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 2 - 2\sin(x) - \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}$$

$$\frac{-\sin^4(x)}{\cos^2(x)} = 2 - 2\sin(x) - \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}$$

Шаг 6: Замена $\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$ через $\tan^2(x)$

Заменим $\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$ через $\tan^2(x)$ с использованием тригонометрического тождества $\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$:

$$-\tan^2(x) = 2 - 2\sin(x) - \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}$$

Шаг 7: Упрощение выражения

Упростим получившееся выражение:

$$\tan^2(x) + 2\sin(x) - \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} - 2 = 0$$

Шаг 8: Замена $\frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}$ через $\tan(x)$

Заменим $\frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}$ через $\tan(x)$:

$$\tan^2(x) + 2\sin(x) - \tan(x) - 2 = 0$$

Шаг 9: Решение уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\tan(x)$. Решим его, используя квадратное уравнение:

$$\tan^2(x) - \tan(x) + 2\sin(x) - 2 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-1)^2 - 4(1)(2\sin(x) - 2)$$ $$D = 1 - 8\sin(x) + 8$$ $$D = 9 - 8\sin(x)$$

Если дискриминант $D > 0$, то уравнение имеет два различных решения. Если $D = 0$, то уравнение имеет одно решение. Если $D < 0$, то уравнение не имеет решений.

Шаг 10: Анализ дискриминанта

Посмотрим на дискриминант $D = 9 - 8\sin(x)$.

Если $D > 0$, то у нас есть два различных решения. Давайте найдем эти значения.

$$\tan(x) = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9 - 8\sin(x)}}{2(1)}$$ $$\tan(x) = \frac{1 \pm \sqrt{9 - 8\sin(x)}}{2}$$

Таким образом, у нас есть два возможных значения для $\tan(x)$.

Если $D = 0$, то у нас есть одно решение. Давайте найдем это значение.

$$\tan(x) = \frac{1}{2}$$

Если $D < 0$, то уравнение не имеет решений.

Шаг 11: Решение уравнения

Таким образом, мы получили три возможных значения для $\tan(x)$:

1. $\tan(x) = \frac{1 + \sqrt{9 - 8\sin(x)}}{2}$ 2. $\tan(x) = \frac{1 - \sqrt{9 - 8\sin(x)}}{2}$ 3. $\tan(x) = \frac{1}{2}$

После нахождения значений $\tan(x)$, мы можем решить уравнение для $x$.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение данного уравнения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!