Question

Задана функция F(x)=sin4xcos4x.Найдите f ' (П/3)

Answer 1

$=(sin^{2}(4x))' cos(4x)+(cos(4x))' sin(4x)=4(cos^2(4x)-sin^{2}(4x))=$$4cos(8x)$

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти производную функции F(x) = sin^4(x)cos^4(x) и затем подставить значение x = π/3.

Чтобы найти производную функции F(x), мы можем использовать правило производной произведения функций (product rule) и цепное правило (chain rule).

Правило производной произведения функций гласит: d/dx(f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Применяя правило производной произведения функций к нашей функции F(x) = sin^4(x)cos^4(x), мы получаем: F'(x) = (sin^4(x))' * cos^4(x) + sin^4(x) * (cos^4(x))'

Теперь нам нужно найти производные sin^4(x) и cos^4(x).

Производная sin^4(x): (sin^4(x))' = 4(sin^3(x)) * (sin(x))'

Производная cos^4(x): (cos^4(x))' = 4(cos^3(x)) * (cos(x))'

Заметим, что (sin(x))' = cos(x) и (cos(x))' = -sin(x).

Теперь мы можем подставить найденные производные обратно в выражение для F'(x): F'(x) = 4(sin^3(x)) * cos(x) * cos^4(x) + sin^4(x) * 4(cos^3(x)) * (-sin(x))

Упрощая это выражение, получим: F'(x) = 4sin^3(x)cos^5(x) - 4sin^5(x)cos^3(x)

Теперь мы можем вычислить значение производной F'(x) в точке x = π/3: f'(π/3) = 4sin^3(π/3)cos^5(π/3) - 4sin^5(π/3)cos^3(π/3)

Вычисляя sin(π/3) и cos(π/3), получаем: sin(π/3) = √3/2 cos(π/3) = 1/2

Заменяем значения sin(π/3) и cos(π/3) в выражении для f'(π/3): f'(π/3) = 4(sin(π/3))^3 * (cos(π/3))^5 - 4(sin(π/3))^5 * (cos(π/3))^3

Подставляя значения sin(π/3) = √3/2 и cos(π/3) = 1/2, получаем: f'(π/3) = 4(√3/2)^3 * (1/2)^5 - 4(√3/2)^5 * (1/2)^3

Упрощая это выражение, получаем: f'(π/3) = 4(3√3/8) * (1/32) - 4(3√3/32) * (1/8)

Дальнейшее упрощение даёт: f'(π/3) = 3√3/64 - 3√3/64

Итак, ответ: f'(π/3) = 0.