Question

Докажите, что функция убывает y=-x^3-5x+3

Answer 1

Давай-ка посмотрим на производную этой функции. И она внезапно окажется такой:
у' = -3*x^2 - 5  -- квадратное уравнение.

Попробуем решить? Неудача, дискриминант получается отрицательный D = -4*3*5 < 0. Значит производная всегда имеет один знак - либо плюс, либо минус. Но какой же именно? Возьмём на пробу любой х, например х=0, и обнаружим, что при х=0 производная будет y'=-5 -- отрицательная. Значит производная везде отрицательная. А значит функция везде убывает. Типа, доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что функция y = -x^3 - 5x + 3 убывает, мы должны показать, что для любых двух значений x1 и x2, таких что x1 < x2, соответствующие значения y1 и y2 удовлетворяют неравенству y1 > y2.

Для этого найдем производную функции y = -x^3 - 5x + 3 и проанализируем ее знаки.

Производная функции y = -x^3 - 5x + 3 равна y' = -3x^2 - 5.

Чтобы найти экстремумы функции, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-3x^2 - 5 = 0

Решая это уравнение, получим два значения x: x1 = -√(5/3) и x2 = √(5/3).

Подставим эти значения в производную и определим знаки:

y'(-√(5/3)) = -3(-√(5/3))^2 - 5 = -3(5/3) - 5 = -10 < 0 y'(√(5/3)) = -3(√(5/3))^2 - 5 = -3(5/3) - 5 = -10 < 0

Таким образом, производная функции отрицательна для всех значений x, кроме точек экстремума. Это означает, что функция убывает на всем промежутке и она имеет максимумы в точках x1 и x2.

Теперь проверим поведение функции на бесконечностях. При x -> -∞ и x -> +∞, функция также стремится к отрицательной бесконечности. Это можно заметить, так как при больших отрицательных или положительных значениях x, кубический член -x^3 будет доминировать над остальными членами функции.

Таким образом, мы доказали, что функция y = -x^3 - 5x + 3 убывает на всем своем домене.