Question

Решите уравнение 3- log2 (3x- 1 )= log2(7/2x+1)

Answer 1

ОДЗ
3x-1>0⇒3x>1⇒x>1/3
7/(2x+1)>0⇒2x+1>0⇒2x>-1⇒x>-1/2
x∈(0,5;∞)
log(2)[7(3x-1)/(2x+1)]=3
7(3x-1)/(2x+1)=8
7(3x-1)=8(2x+1)
21x-7-16x-8=0
5x=15
x=3

Answer 2

Решение: 
ОДЗ: 
$\left[\begin{array}{ccc}3x-1\ \textgreater \ 0\\\frac{7}{2x+1}\ \textgreater \ 0\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}3x\ \textgreater \ 1\\2x+1\ \textgreater \ 0\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}x\ \textgreater \ \frac{1}{3}\\2x\ \textgreater \ -1\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}x\ \textgreater \ \frac{1}{3}\\x\ \textgreater \ -\frac{1}{2}\end{array}\right$
Конечный ОДЗ: $x\ \textgreater \ \frac{1}{3}$

$3=log_2(\frac{7}{2x+1})+log_2(3x-1)\\3=log_2((\frac{7}{2x+1})(3x-1))$

По определению логарифма, $\frac{7(3x-1)}{2x+1}=2^3$. 
$7(3x-1)=8(2x+1)\\21x-16x=8+7\\5x=15\to x=3$

Корень уравнения удовлетворяет ОДЗ, потому является решением данного уравнения. 

Answer 3

Для начала решим уравнение \(3 - \log_2(3x - 1) = \log_2\left(\frac{7}{2x + 1}\right)\). Решение этого уравнения включает несколько шагов, так что давайте начнем с раскрытия логарифмических выражений.

Раскрытие логарифмов

Первым шагом будет раскрытие обоих логарифмов с использованием свойств логарифмов:

\[3 - \log_2(3x - 1) = \log_2\left(\frac{7}{2x + 1}\right)\]

Перенос логарифмов

Теперь перенесем логарифмы на одну сторону уравнения, а числовые значения на другую:

\[3 = \log_2(3x - 1) + \log_2\left(\frac{7}{2x + 1}\right)\]

Применение свойства логарифмов

Используем свойство логарифмов \(\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac)\):

\[3 = \log_2\left((3x - 1) \cdot \frac{7}{2x + 1}\right)\]

Избавление от логарифма

Теперь избавимся от логарифма, возведя обе стороны уравнения в степень 2 (основание логарифма):

\[2^3 = (3x - 1) \cdot \frac{7}{2x + 1}\]

Упрощение и решение

Решим полученное уравнение:

\[8 = (3x - 1) \cdot \frac{7}{2x + 1}\]

\[8 = \frac{21x - 7}{2x + 1}\]

\[8(2x + 1) = 21x - 7\]

\[16x + 8 = 21x - 7\]

\[8 + 7 = 21x - 16x\]

\[15 = 5x\]

\[x = 3\]

Ответ

Таким образом, решение уравнения \(3 - \log_2(3x - 1) = \log_2\left(\frac{7}{2x + 1}\right)\) равно \(x = 3\).