Question

Решить неравенство log2x+log2(x-2)<3

Answer 1

Ответ:

(2;4)

Объяснение

$\ log_2x+\log_2(x-2)<3;\\\left \{\begin{array}{lcl} { {x >0,} \\ {x-2>0,} \\ {\log_2(x^{2}-2x)<3; } }\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{lcl} { {x >0,} \\ {x>2,} \\ {x^{2} -2x-8<0;} }\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lcl} {{x>2,} \\ {-2<x<4;}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\\\\\Leftrightarrow2<x<4.$

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы должны применить свойства логарифмов.

Сначала объединим левую часть неравенства, используя свойство логарифма, которое гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов:

log2(x(x-2)) < 3

Далее, используем другое свойство логарифма, которое гласит, что логарифм числа, возведенного в степень, равен произведению степени и логарифма числа:

log2(x^2 - 2x) < 3

Теперь, применим обратную функцию логарифма с основанием 2 к обеим сторонам неравенства:

2^(log2(x^2 - 2x)) < 2^3

По свойству обратной функции логарифма с основанием 2, левая часть неравенства становится равной x^2 - 2x:

x^2 - 2x < 8

Теперь, приведем это к квадратному уравнению:

x^2 - 2x - 8 < 0

Найдем корни этого уравнения:

(x - 4)(x + 2) < 0

Теперь, построим таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется:

-2 4 - + +

Таким образом, неравенство выполняется при -2 < x < 4.

Итак, решением данного неравенства является интервал (-2, 4).