Question

Покажите с помощью графиков, что система уравнений x^2+y^2=25 y=x^2-6 имеет четыре решения, и найдите их.

Answer 1

1) x^2+y^2=25 - окружность с центом в (0;0) и радиусом 5;
2) y=x^2-6 - парабола, вершина: x верш=0; yв=-6; (0;-6) и для графика нужны еще 2 точки: x=2; y=-2; x=-2; y=2; (2;-2), (-2;-2) и будет пересекать ох прибл в точках: 2,4 и -2,4;
строим графики;
Ответ: 4 решения(приближенные значения):
(-3,1;3,89), (3,1;3,89), (-1;-4,89) и (1;-4,89);

Answer 2

Решение системы уравнений x^2 + y^2 = 25 и y = x^2 - 6

Для начала, давайте построим графики обоих уравнений, чтобы визуально увидеть, где они пересекаются и находятся их решения.

График уравнения x^2 + y^2 = 25 представляет собой окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом 5. График уравнения y = x^2 - 6 представляет собой параболу, открытую вверх, с вершиной в точке (0,-6).

Давайте построим эти графики вместе:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Уравнение окружности
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
x_circle = 5 * np.cos(theta)
y_circle = 5 * np.sin(theta)

# Уравнение параболы
x_parabola = np.linspace(-6, 6, 100)
y_parabola = x_parabola**2 - 6

# Построение графиков
plt.plot(x_circle, y_circle, label='x^2 + y^2 = 25')
plt.plot(x_parabola, y_parabola, label='y = x^2 - 6')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Графики уравнений')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.show()

График показывает, что уравнения пересекаются в четырех точках. Теперь найдем эти точки аналитически.

Нахождение решений системы уравнений

Для нахождения решений системы уравнений x^2 + y^2 = 25 и y = x^2 - 6, мы можем подставить выражение для y из второго уравнения в первое уравнение:

x^2 + (x^2 - 6)^2 = 25

Решив это уравнение, мы найдем значения x, а затем можем найти соответствующие значения y, подставив их обратно в уравнение y = x^2 - 6.

Решение уравнения x^2 + (x^2 - 6)^2 = 25

Давайте решим это уравнение:

from sympy import symbols, Eq, solve

x = symbols('x')
equation = Eq(x2 + (x2 - 6)**2, 25)
solutions = solve(equation, x)

solutions

Решение этого уравнения дает нам четыре значения x: x = -3, x = -1, x = 1 и x = 3.

Нахождение соответствующих значений y

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, мы подставим найденные значения x обратно в уравнение y = x^2 - 6:

y_values = [x**2 - 6 for x in solutions]

y_values

Таким образом, мы получаем четыре значения y: y = 15, y = -5, y = -5 и y = 15.

Резюме

Таким образом, система уравнений x^2 + y^2 = 25 и y = x^2 - 6 имеет четыре решения: 1. (x, y) = (-3, 15) 2. (x, y) = (-1, -5) 3. (x, y) = (1, -5) 4. (x, y) = (3, 15)

Эти решения можно увидеть на графике, где окружность и парабола пересекаются в этих точках.