Question

Известно, что a=Log (12) 18 и b=Log (24) 54. Доказать, что ab+5(a-b) - есть число натуральное

Answer 1

  Преобразуем $ab+5a-5b=a(b+5)-5b$ 
 то есть 
 $log_{12}18(log_{24}54+5)-5*log_{24}54=\\\\ log_{12}18(log_{24}54+log_{24}24^5)-5*log_{24}54=\\\\ log_{12}18(log_{24}(54*24^5))-5*log_{24}54=\\\\ log_{12}18*8*log_{24}12-5*log_{24}54=\\\\ 8*\frac{log_{12}18}{log_{12}24}-5*log_{24}54$ 
 заметим что 
$\frac{log_{12}18}{log_{12}24}=log_{24}18$ по формуле  к переходу к новому основанию 
$8*log_{24}18-5*log_{24}54=log_{24}18^8-log_{24}54^5=log_{24}\frac{18^8}{54^5}=\\ log_{24}24=1$
 

Answer 2

Для начала, выразим a и b через натуральные логарифмы:

a = log(12)18 = log(18)/log(12) b = log(24)54 = log(54)/log(24)

Теперь найдем ab:

ab = (log(18)/log(12)) * (log(54)/log(24)) = (log(18) * log(54)) / (log(12) * log(24))

Теперь найдем 5(a-b):

5(a-b) = 5((log(18)/log(12)) - (log(54)/log(24))) = 5(log(18)/log(12) - log(54)/log(24))

Теперь найдем сумму ab и 5(a-b):

ab + 5(a-b) = (log(18) * log(54)) / (log(12) * log(24)) + 5(log(18)/log(12) - log(54)/log(24))

Сложим дроби в числителе:

ab + 5(a-b) = (log(18) * log(54) + 5(log(18)*log(24) - log(54)*log(12))) / (log(12) * log(24))

Теперь докажем, что числитель этой дроби является натуральным числом. Для этого нам нужно доказать, что числитель делится на log(12) и log(24) без остатка.

Для начала заметим, что числитель можно представить в виде:

log(18) * log(54) + 5(log(18)*log(24) - log(54)*log(12))

Теперь вынесем общий множитель log(18) и log(24):

log(18) * log(54) + 5log(18)log(24) - 5log(54)log(12)

Теперь вынесем log(18) и log(24) за скобку:

log(18)(log(54) + 5log(24)) - log(54)(5log(12))

Теперь видно, что числитель представляет собой разность двух произведений, которая делится на log(12) и log(24) без остатка. Поэтому числитель является натуральным числом.

Таким образом, мы доказали, что ab + 5(a-b) является натуральным числом.