Question

Помогите пожалуйста решить уравнение sin^4(2x) + cos^4(2x)=sin(2x)*cos(2x)

Answer 1

$sin^4 (2x)+cos^4 (2x)=sin(2x)*cos(2x)$
$(sin^2 (2x)+cos^2 (2x))^2-2sin^2(2x)cos^2(2x)-sin(2x)cos(2x)=0$
$sin(2x)cos(2x)=\frac{sin(4x)}{2}=t$
$1-\frac{1}{2}t^2=\frac{1}{2}t$
$t^2+t-2=0$
$(t+2)(t-1)=0$
$t-1=0; t_1=1$
$t+2=0;t_2=-2$
1) случай
$\frac{sin(4x)}{2}=-2$
$sin(4x)=-4$
решений нет
2) $\frac{sin(4x)}{2}=1$
$sin(4x)=2$
решений нет
овтет: решений нет

Answer 2

Я могу помочь вам решить тригонометрическое уравнение. Ваше уравнение можно упростить, используя следующие тождества:

$$\sin^4(2x) + \cos^4(2x) = (\sin^2(2x) + \cos^2(2x))^2 - 2\sin^2(2x)\cos^2(2x)$$ $$\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$$ $$\sin(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\sin(4x)$$

Подставив эти тождества в исходное уравнение, получим:

$$1 - \sin^2(4x) = \frac{1}{2}\sin(4x)$$

Перенеся все члены в левую часть, получим:

$$\sin^2(4x) + \frac{1}{2}\sin(4x) - 1 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $\sin(4x)$. Его можно решить с помощью формулы корней:

$$\sin(4x) = \frac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 4}}{2}$$

Упростив, получим:

$$\sin(4x) = -\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{17}}{4}$$

Так как $\sin(4x)$ может принимать значения от -1 до 1, то корень с плюсом не подходит, а корень с минусом равен:

$$\sin(4x) = -\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \approx -0.7808$$

Теперь нужно найти все значения $x$, при которых $\sin(4x)$ равен этому числу. Для этого можно воспользоваться обратной тригонометрической функцией $\arcsin$:

$$4x = \arcsin(-0.7808) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$4x = -\pi - \arcsin(-0.7808) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Разделив обе части на 4, получим:

$$x = \frac{\arcsin(-0.7808)}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\arcsin(-0.7808)}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Приблизительно, эти решения равны:

$$x \approx -0.0496 + 0.7854k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x \approx -0.8349 + 0.7854k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Если вам нужно найти решения в каком-то конкретном интервале, то вы можете подобрать подходящие значения $k$.

Надеюсь, это помогло вам разобраться в решении уравнения. Если вам нужна дополнительная помощь, вы можете посмотреть другие источники, которые я нашел для вас, , , .