Question

вычислить площадь фигуры ограниченной графиком функции y=2-x^2касательнойк этому графику в его точке с абциссой x=-1и прямойx=0

Answer 1

Y(-1)=2-1=1
y`=-2x
y`(-1)=2
y=1+2(x+1)=1+2x+2=2x+3-уравнение касательной
Фигура ограничена сверху прямой у=2х+3,а снизу параболой у=2-х².
Площадь равна интегралу от функции 2х+3-2+х²=х²+2х+1от -1 до 0.
S=x³/3+x²+x|0-(-1)=1/3-1+1=1/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции y = 2 - x^2, касательной к этому графику в его точке с абсциссой x = -1 и прямой x = 0, мы можем использовать метод интегрирования.

Нахождение точки касания касательной к графику

Для начала, найдем точку касания касательной к графику функции y = 2 - x^2 в его точке с абсциссой x = -1. Чтобы найти уравнение касательной, мы можем использовать производную функции в данной точке.

1. Найдем производную функции y = 2 - x^2: y' = -2x

2. Подставим x = -1 в производную функции, чтобы найти угловой коэффициент касательной в данной точке: y'(-1) = -2(-1) = 2

Угловой коэффициент касательной равен 2.

3. Теперь мы знаем угловой коэффициент касательной и точку, через которую она проходит (x = -1, y = 3). Мы можем использовать уравнение прямой вида y = mx + b, где m - угловой коэффициент, чтобы найти b (смещение):

3 = 2(-1) + b 3 = -2 + b b = 5

Уравнение касательной: y = 2x + 5

Нахождение площади фигуры

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2 - x^2, касательной к этому графику в его точке с абсциссой x = -1 и прямой x = 0, мы должны найти точки пересечения этих графиков.

1. Найдем точки пересечения графика функции y = 2 - x^2 и прямой x = 0: Подставим x = 0 в уравнение функции: y = 2 - 0^2 y = 2 - 0 y = 2

Таким образом, точка пересечения графика функции и прямой - (0, 2).

2. Теперь найдем точку пересечения графика функции y = 2 - x^2 и касательной y = 2x + 5: Подставим y из уравнения касательной в уравнение функции: 2 - x^2 = 2x + 5

Перенесем все в одну сторону: x^2 + 2x - 7 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью квадратного корня или факторизации: (x - 1)(x + 3) = 0

Таким образом, точки пересечения графика функции и касательной - (1, -3) и (-3, -3).

3. Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции, касательной и прямой, с помощью интегрирования. Площадь фигуры будет равна сумме площадей двух треугольников и площади между касательной и графиком функции.

Площадь первого треугольника: S1 = (1/2) * (1 - 0) * (2 - (-3)) = (1/2) * (1) * (5) = 2.5

Площадь второго треугольника: S2 = (1/2) * (0 - (-3)) * (2 - (-3)) = (1/2) * (3) * (5) = 7.5

Площадь между касательной и графиком функции: S3 = ∫[x=-3 to x=1] (2 - x^2 - (2x + 5)) dx

Рассчитываем интеграл: S3 = ∫[x=-3 to x=1] (-x^2 - 2x - 3) dx = [-1/3 * x^3 - x^2 - 3x] from -3 to 1 = [(-1/3 * 1^3 - 1^2 - 3*1) - (-1/3 * (-3)^3 - (-3)^2 - 3*(-3))] = [(-1/3 - 1 - 3) - (-1/3 * (-27) - 9 + 9)] = [(-1/3 - 1 - 3) - (9/3 + 9)] = [-13/3 - 13/3] = -26/3

Площадь фигуры: S = S1 + S2 + S3 = 2.5 + 7.5 - 26/3 = 10 - 26/3 = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2 - x^2, касательной к этому графику в его точке с абсциссой x = -1 и прямой x = 0, составляет 4/3.