Question

Посчитать : lg sin 1° * lg sin2° * lg sin3° ... *lg sin90°, даю 80 баллов

Answer 1

Ответ 0
произведение равно 0, если один из сомножителей равен 0
sin90=1. а lg1=0.

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение:

\[ \lg(\sin 1^\circ) \cdot \lg(\sin 2^\circ) \cdot \lg(\sin 3^\circ) \cdot \ldots \cdot \lg(\sin 90^\circ) \]

Прежде чем продолжить, давайте заметим, что \(\lg(\sin x)\) будет отрицательным для \(0 < x < 90^\circ\), так как \(\sin x\) всегда положителен в этом интервале, и \(\lg\) для чисел между 0 и 1 отрицателен.

Теперь разберемся с этим выражением пошагово. Обратим внимание, что:

\[ \sin x = \cos(90^\circ - x) \]

Таким образом, наше выражение можно переписать следующим образом:

\[ \lg(\sin 1^\circ) \cdot \lg(\sin 2^\circ) \cdot \lg(\sin 3^\circ) \cdot \ldots \cdot \lg(\sin 90^\circ) \]

\[ = \lg(\cos 89^\circ) \cdot \lg(\cos 88^\circ) \cdot \lg(\cos 87^\circ) \cdot \ldots \cdot \lg(\cos 0^\circ) \]

Теперь, воспользовавшись свойствами логарифмов, мы можем объединить все эти логарифмы в один:

\[ = \lg(\cos 89^\circ \cdot \cos 88^\circ \cdot \cos 87^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 0^\circ) \]

Теперь мы знаем, что:

\[ \cos(90^\circ - x) = \sin x \]

Таким образом, мы можем переписать наше выражение следующим образом:

\[ = \lg(\sin 0^\circ \cdot \sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdot \ldots \cdot \sin 89^\circ) \]

Теперь заметим, что:

\[ \sin x \cdot \sin(90^\circ - x) = \sin x \cdot \cos x \]

Это равно \( \frac{1}{2} \cdot \sin(2x) \). Таким образом, наше выражение можно далее упростить:

\[ = \lg\left(\frac{1}{2} \cdot \sin 2^\circ \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 4^\circ \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 6^\circ \cdot \ldots \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 178^\circ\right) \]

\[ = \lg\left(\frac{1}{2^{45}} \cdot \sin 2^\circ \cdot \sin 4^\circ \cdot \sin 6^\circ \cdot \ldots \cdot \sin 178^\circ\right) \]

Теперь мы видим, что у нас есть последовательность синусов кратных 2, и умножение всех этих значений даст нам произведение синусов кратных 2 от 2 до 178 градусов. Поскольку \(\sin\) периодичен с периодом \(180^\circ\), это произведение будет равно \( \sin 2^\circ \cdot \sin 4^\circ \cdot \sin 6^\circ \cdot \ldots \cdot \sin 178^\circ \), что равно \(\frac{1}{2}\).

Таким образом, итоговое значение выражения:

\[ \lg(\sin 1^\circ) \cdot \lg(\sin 2^\circ) \cdot \lg(\sin 3^\circ) \cdot \ldots \cdot \lg(\sin 90^\circ) = \lg\left(\frac{1}{2^{45}}\right) \]

Поскольку \(\frac{1}{2^{45}}\) - это число меньше 1, логарифм этого значения будет отрицательным. Таким образом, итоговый ответ отрицателен, и его точное значение можно вычислить, используя калькулятор.