Question

Вычислить производную функции y=In(2x^3+1)/x^2-1

Answer 1

Если записать как я понимаю, то так. Со скобками разберись в задании

Answer 2

Чтобы вычислить производную функции y = ln((2x^3 + 1)/(x^2 - 1)), мы воспользуемся правилом дифференцирования для сложной функции и правилом дифференцирования для частного функций.

1. Правило дифференцирования сложной функции (chain rule): Если у нас есть функция f(g(x)), то ее производная равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) на производную внутренней функции g'(x).

2. Правило дифференцирования для частного функций: Если у нас есть функция f(x)/g(x), то ее производная равна (f'(x)g(x) - g'(x)f(x))/(g(x))^2.

Сначала разложим функцию y на две составляющие: y = ln(2x^3 + 1) - ln(x^2 - 1)

Теперь вычислим производную каждой составляющей по отдельности.

Для первой составляющей, используем правило дифференцирования сложной функции: f(x) = ln(u), где u = 2x^3 + 1 f'(x) = (1/u) * du/dx du/dx = 6x^2 (производная 2x^3 + 1) Итак, производная первой составляющей равна: dy1/dx = (1/(2x^3 + 1)) * 6x^2

Для второй составляющей, также используем правило дифференцирования сложной функции: g(x) = ln(v), где v = x^2 - 1 g'(x) = (1/v) * dv/dx dv/dx = 2x (производная x^2 - 1) Итак, производная второй составляющей равна: dy2/dx = (1/(x^2 - 1)) * 2x

Теперь найдем производную функции y, используя правило дифференцирования для частного функций: dy/dx = (dy1/dx * (x^2 - 1) - dy2/dx * (2x^3 + 1))/((x^2 - 1)^2)

Подставим значения производных, которые мы ранее вычислили: dy/dx = (6x^2/(2x^3 + 1) * (x^2 - 1) - 2x/(x^2 - 1) * (2x^3 + 1))/((x^2 - 1)^2)

Итак, мы вычислили производную функции y = ln((2x^3 + 1)/(x^2 - 1)): dy/dx = (6x^2*(x^2 - 1)/(2x^3 + 1) - 2x*(2x^3 + 1)/(x^2 - 1))/((x^2 - 1)^2)

Это и есть итоговая производная функции.