Question

Решить уравнение. cosx=cos2x

Answer 1

cos(2x)-cosx=0

cos^2(x)-sin^2(x)-cosx=0

cos^2(x)+cos^2(x)-1-cosx=0

2cos^2(x)-cosx-1=0

cos^2(x)=t, то

2t^2-t-1=0

D=1+8=9

x1=(1+3)\4=1                                                    x2=(1-3)\4=-1\2

cosx=1                                                              cosx=-1\2 

x=Pi + Pi*n, где n принадлежит Z                       x=(Pi-(Pi\3))+(2Pi*n)

                                                                         x=2Pi\3+(2Pi*n), n принад Z

   Ответ: 2 выражения конечных

 

Answer 2

Для решения уравнения `cos(x) = cos(2x)`, мы применим тригонометрические тождества и свойства косинуса, чтобы привести его к более простому виду и найти все возможные значения `x`, удовлетворяющие уравнению.

Используем тригонометрические тождества

Мы можем использовать тождество косинуса для `cos(2x)`, которое гласит: ``` cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 ```

Подставляем тождество в уравнение

Подставим это тождество в наше уравнение: ``` cos(x) = 2cos^2(x) - 1 ```

Приводим уравнение к квадратному виду

Для решения уравнения, приведем его к квадратному виду. Пусть `y = cos(x)`, тогда уравнение примет вид: ``` y = 2y^2 - 1 ```

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить.

Решаем квадратное уравнение

Приведем квадратное уравнение к стандартному виду: ``` 2y^2 - y - 1 = 0 ```

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию, квадратное уравнение или формулу дискриминанта. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта для решения этого уравнения.

Используем формулу дискриминанта

Для квадратного уравнения `ay^2 + by + c = 0`, формула дискриминанта выглядит следующим образом: ``` D = b^2 - 4ac ```

В нашем случае: ``` a = 2, b = -1, c = -1 ```

Вычислим дискриминант: ``` D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9 ```

Находим значения `y`

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения значений `y`: ``` y = (-b ± sqrt(D)) / (2a) ```

Подставим соответствующие значения: ``` y = (1 ± sqrt(9)) / (2 * 2) = (1 ± 3) / 4 ```

Таким образом, получаем два значения `y`: 1. `y1 = (1 + 3) / 4 = 4/4 = 1` 2. `y2 = (1 - 3) / 4 = -2/4 = -1/2`

Находим значения `x`

Теперь, чтобы найти значения `x`, мы должны вернуться к исходному уравнению `y = cos(x)` и решить его для каждого значения `y`.

Для `y1 = 1`: ``` cos(x) = 1 ``` Здесь `x` может быть любым углом, для которого `cos(x) = 1`. Такие углы называются тождественными решениями. Они возникают из-за периодичности косинуса. Мы можем записать тождественное решение в виде: ``` x = 2πn, где n - целое число ```

Для `y2 = -1/2`: ``` cos(x) = -1/2 ``` Здесь `x` может быть любым углом, для которого `cos(x) = -1/2`. Такие углы возникают из-за периодичности косинуса и симметрии относительно оси `x`. Мы можем записать эти решения в виде: ``` x = π + 2πn, где n - целое число ```

Таким образом, уравнение `cos(x) = cos(2x)` имеет бесконечное множество решений, которые можно записать в виде: ``` x = 2πn, π + 2πn, где n - целое число ```

Например, некоторые решения в интервале `[0, 2π]` могут быть: - `x = 0` - `x = π/3` - `x = π` - `x = 5π/3` - `x = 2π`

Это лишь несколько примеров, и существует бесконечное количество решений для данного уравнения.