Question

Решите неравенство x^2+9/4x^2-1 меньше 0

Answer 1

Если не ошибаюсь, оно решается так :))

Answer 2

Для решения неравенства, мы сначала должны найти значения x, при которых выражение x^2 + (9/4)x^2 - 1 < 0

Выражение можно упростить, объединив подобные члены: (13/4)x^2 - 1 < 0

Теперь мы можем использовать методы факторизации и графиков для решения неравенства.

Факторизация:

1. Решим неравенство (13/4)x^2 - 1 = 0. Для этого выразим его в виде произведения: (x + a)(x - b) = 0

Где a и b - корни квадратного уравнения (13/4)x^2 - 1 = 0.

2. Найдем корни квадратного уравнения: (13/4)x^2 - 1 = 0

Разделим обе части на (13/4): x^2 - 4/13 = 0

Затем вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 0 - 4(1)(-4/13) = 16/13

Где a = 1, b = 0 и c = -4/13.

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных вещественных корня.

Решим уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / (2a)

x1 = (0 + √(16/13)) / (2*1) = √(16/13) / 2 x2 = (0 - √(16/13)) / (2*1) = -√(16/13) / 2

Таким образом, a = √(16/13) / 2 и b = -√(16/13) / 2.

3. Теперь мы можем записать исходное неравенство как произведение трех интервалов: x^2 + (9/4)x^2 - 1 < 0 (x - a)(x + b)(x - b) < 0

Где a = √(16/13) / 2 и b = -√(16/13) / 2.

4. Проанализируем знаки в каждом из интервалов, чтобы определить, когда произведение будет отрицательным.

a) x < -b: x < -(-√(16/13) / 2) = √(16/13) / 2 В этом интервале произведение будет положительным.

b) -b < x < b: -√(16/13) / 2 < x < √(16/13) / 2 В этом интервале произведение будет отрицательным.

c) x > b: x > √(16/13) / 2 В этом интервале произведение будет положительным.

График:

Мы также можем построить график функции y = (13/4)x^2 - 1 и найти интервалы, где она меньше нуля.


Из графика видно, что значения x, при которых функция меньше нуля, находятся между корнями уравнения x^2 - 4/13 = 0, то есть в интервале -√(16/13) / 2 < x < √(16/13) / 2.

Ответ:

Таким образом, решение неравенства x^2 + (9/4)x^2 - 1 < 0 состоит из интервала -√(16/13) / 2 < x < √(16/13) / 2.