Question

Исследовать на экстремум и точки перегиба кривуюy=2/3x^3+4x^2-10Построить схематический график этой функции

Answer 1

На экстремум функция исследуется с помощью производной.
В точках, где производная равна нулю, функция имеет экстремум.
у'=2x²+8x
2x²+8x=0
2x(x+4)=0
x=0 и  х=-4
Насчет точек перегиба затрудняюсь ответить.

Answer 2

Для исследования на экстремум и точки перегиба кривой y = (2/3)x^3 + 4x^2 - 10, мы можем использовать производные функции и вторую производную.

Исследование на экстремум:

Для нахождения экстремумов функции, мы должны найти значения x, где производная функции равна нулю или не существует. Эти значения x будут соответствовать точкам, где функция имеет локальные минимумы или максимумы.

1. Найдем первую производную функции: y' = d/dx[(2/3)x^3 + 4x^2 - 10] = 2x^2 + 8x

2. Решим уравнение y' = 0 для нахождения точек экстремума: 2x^2 + 8x = 0 2x(x + 4) = 0 x = 0 или x = -4

3. Проверим значения x = 0 и x = -4, используя вторую производную: y'' = d^2/dx^2[(2/3)x^3 + 4x^2 - 10] = 4x + 8

Подставим x = 0: y''(0) = 4(0) + 8 = 8 Так как y''(0) > 0, то x = 0 является точкой минимума.

Подставим x = -4: y''(-4) = 4(-4) + 8 = -8 Так как y''(-4) < 0, то x = -4 является точкой максимума.

Исследование на точки перегиба:

Для нахождения точек перегиба функции, мы должны найти значения x, где вторая производная функции равна нулю или не существует. Эти значения x будут соответствовать точкам, где функция меняет свою кривизну.

1. Решим уравнение y'' = 0 для нахождения точек перегиба: 4x + 8 = 0 4x = -8 x = -2

2. Проверим значение x = -2, используя первую производную: y'(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) = 0 Так как y'(-2) = 0, то x = -2 является точкой перегиба.

Схематический график функции:

Теперь построим схематический график функции y = (2/3)x^3 + 4x^2 - 10, используя полученную информацию.

   ^
   |
   |       *
   |      * *
   |     *   *
   |    *     *
   |   *       *
   |  *         *
   | *           *
   |*             *
   |___________________________>

На графике видно, что функция имеет локальный минимум в точке x = 0 и локальный максимум в точке x = -4. Также, функция меняет свою кривизну в точке x = -2, которая является точкой перегиба.

Надеюсь, эта информация была полезной! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.