Question

первые три из целых чисел a, b, c, k образуют арифметическую прогрессию, последние три - геометрическая прогрессию. Найти число k если a+k=36, b+c=27.​

Answer 1

первые три из целых чисел a, b, c, k образуют арифметическую прогрессию,

значит

b=a+d

c=a+2d

последние три образуют  геометрическая прогрессию,

значит

b; c=b·q  и k=b·q²  

Так как

По условию

a+k=36,

b+c=27

то из второго выражения ⇒  b+bq=27⇒b(1+q)=27

По условию числа a;b;c;k - целые, значит возможны варианты

b(1+q)=27·1   или    b·(1+q)=9·3   или    b·(1+q)=3·9

(1):

b=±27  

1+q=±1

Но 1+q≠1 , так как q≠0  значит остается возможным

выбор  1+q=-1  ⇒  q=-2  и   b=-27

c=bq=54

k=cq=-108

d=c-b=81

a=b-d=-27-81=-108

a+k=-108+108=36 неверно

(2)

b·(1+q)=9·3  

b=9; q=2; c=18; k=36;

a=0

0;9;18;36

a+k=0+9=36

b+c=9+18=27

верно.

Значит k=36 входит в ответ

b=-9; q=-4

c=36;

k=-144

d=c-b=36-(-9)=45

a=b-d=-9-45=-54

a+k=-54-144≠36

выбор b=-9; q=-4  невозможен

(3)

  b·(1+q)=3·9

b=3; 1+q=9     ⇒    b=3;q=8; c=24;q=cq=8·24=192;

d=c-b=24-3=21;  a=b-d=24-21=-3

a+k=-3+192≠36

b=-3; 1+q=-9; q=-10   ⇒  c=30;  k= -300

d=33; a=-36

a+k≠36

О т в е т. k=36

Answer 2

Дано, что первые три целых числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию, а последние три числа b, c, k образуют геометрическую прогрессию.

В арифметической прогрессии шаг между последовательными числами одинаковый. Обозначим этот шаг через d. Тогда:

b = a + d, c = a + 2d.

В геометрической прогрессии между последовательными числами отношение одинаково. Обозначим это отношение через r. Тогда:

c = br, k = cr = (a + 2d)r.

Также дано, что a + k = 36 и b + c = 27. Заменим значения b и c через a и d:

b + c = (a + d) + (a + 2d) = 2a + 3d = 27.

Из этого уравнения можно выразить a через d:

2a = 27 - 3d, a = (27 - 3d) / 2.

Заменим значения b и c через a и d в выражении для k:

k = cr = (a + 2d)r = ([(27 - 3d) / 2] + 2d)r = r * (27/2 - 3d/2 + 4d) = 36.

Таким образом, мы получили уравнение относительно d и r:

r * (27/2 - d/2 + 2d) = 36.

Преобразуем его:

27r - dr + 2dr = 72, 27r + dr = 72, r(27 + d) = 72.

Так как r является отношением в геометрической прогрессии, оно не может быть равно нулю. Значит, (27 + d) должно быть равно 72.

27 + d = 72, d = 72 - 27 = 45.

Теперь, когда мы знаем значение d, можем найти a через уравнение:

2a = 27 - 3d, 2a = 27 - 3 * 45 = 27 - 135 = -108, a = -54.

И, наконец, найдем k через уравнение:

a + k = 36, -54 + k = 36, k = 36 + 54 = 90.

Итак, число k равно 90.