Question

Помогите пожалуйста найдите сумму корней уравнения log2 (x^2 + 3) - 2= log 2(x)

Answer 1

$\log_2(x^2+3)-2=\log_2x \\ \log_2(x^2+3)=\log_2x+2$
ОДЗ: x>0
$\log_2(x^2+3)=\log_2x+\log_24 \\ \log_2(x^2+3)=\log_24x \\ x^2+3=4x \\ x^2-4x+3=0$
По т. Виета:
$x_1=1 \\ x_2=3$

Сумма корней 1+3=4.

Ответ: 4.

Answer 2

Для начала давайте найдем сумму корней уравнения \( \log_2(x^2 + 3) - 2 = \log_2(x) \). Это уравнение логарифмическое, поэтому для решения нам пригодится использовать свойства логарифмов.

Преобразование уравнения

Для начала приведем уравнение к виду, удобному для решения. Мы можем использовать свойство логарифмов \( \log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) \). Применим это свойство к уравнению:

\[ \log_2(x^2 + 3) - 2 = \log_2(x) \] \[ \log_2\left(\frac{x^2 + 3}{2^2}\right) = \log_2(x) \]

Теперь у нас есть уравнение в более удобном виде.

Применение свойства логарифмов

Согласно свойству логарифмов \( \log_a(b) = \log_a(c) \) означает, что \( b = c \). Таким образом, мы можем записать:

\[ \frac{x^2 + 3}{4} = x \]

Решение уравнения

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить. Для этого приведем его к квадратному уравнению:

\[ x^2 + 3 = 4x \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Теперь найдем корни этого уравнения, например, используя квадратное уравнение.

Нахождение корней

Для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) используется формула дискриминанта:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае, у нас \( a = 1 \), \( b = -4 \), и \( c = 3 \). Подставим эти значения в формулу дискриминанта и найдем корни уравнения.

\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4*1*3}}{2*1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \]

Таким образом, корни уравнения \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) равны \( x = 1 \) и \( x = 3 \).

Нахождение суммы корней

Теперь, когда мы нашли корни уравнения, мы можем найти их сумму:

Сумма корней: \( 1 + 3 = 4 \)

Итак, сумма корней уравнения \( \log_2(x^2 + 3) - 2 = \log_2(x) \) равна 4.