Question

Дано уравнение ctg(x)+1=0. 1.Найдите все корни уравнения, удовлетворяющие условию cos(x)>0.​ 2.Сколько корней уравнения удовлетворяют условию |2x|≤π?

Answer 1

Ответ: 1. x= -(π/4)+2πn, где n ∈ Z,  и есть все корни удовлетворяющие условию cos(x)>0.

2. Один корень x=-(π/4).

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение:

1. ctg(x) + 1 = 0

Первым шагом можно выразить ctg(x) в виде:

ctg(x) = -1

Теперь найдем все корни этого уравнения, удовлетворяющие условию cos(x) > 0.

Для ctg(x) = -1, tg(x) = -1, и теперь нам нужно найти углы, для которых tg(x) равно -1. Так как tg(x) = sin(x) / cos(x), это означает, что sin(x) = -cos(x).

Рассмотрим сначала углы в первой четверти (0 < x < π/2), где и sin(x) и cos(x) положительны. Здесь sin(x) = -cos(x) не имеет решений.

Теперь рассмотрим углы во второй четверти (π/2 < x < π). Здесь sin(x) отрицательно, а cos(x) положительно. У нас есть одно решение: x = 3π/4.

Таким образом, уравнение ctg(x) + 1 = 0 имеет один корень, который удовлетворяет условию cos(x) > 0: x = 3π/4.

2. Теперь найдем, сколько корней уравнения удовлетворяют условию |2x| ≤ π.

Для начала, разделим это условие на два неравенства:

-π ≤ 2x ≤ π

Теперь делим каждое неравенство на 2:

-π/2 ≤ x ≤ π/2

Таким образом, у нас есть два неравенства, каждое из которых определяет интервал для x:

-π/2 ≤ x x ≤ π/2

Уравнение ctg(x) + 1 = 0 имеет корень при x = 3π/4, который удовлетворяет обоим неравенствам:

-π/2 ≤ 3π/4 ≤ π/2

3π/4 находится в интервале от -π/2 до π/2. Таким образом, есть один корень, который удовлетворяет условию |2x| ≤ π.