Question

Помогите, пожалуйста, найти предел (1-cos^2(x))/(x*sin2x) при х->0

Answer 1

Смотри во вложении.

Answer 2

Для нахождения предела выражения (1-cos^2(x))/(x*sin2x) при x->0, мы можем использовать алгебраические преобразования и свойства тригонометрии.

Решение:

1. Начнем с алгебраического преобразования числителя: (1 - cos^2(x)) = sin^2(x)

2. Заменим знаменатель на sin(2x): x*sin(2x) = 2x*sin(x)*cos(x)

3. Теперь мы можем переписать исходное выражение: (sin^2(x))/(2x*sin(x)*cos(x))

4. Мы можем сократить sin(x) в числителе и знаменателе: sin(x)/(2x*cos(x))

5. Теперь мы можем рассмотреть предел этого выражения при x->0. Для этого мы можем использовать свойство предела произведения: lim(x->0) sin(x)/(2x*cos(x)) = (lim(x->0) sin(x))/(lim(x->0) 2x*cos(x))

6. Предел sin(x) при x->0 равен 0, а предел 2x*cos(x) при x->0 равен 2*0*cos(0) = 0.

7. Поэтому, предел исходного выражения равен: lim(x->0) (sin(x))/(2x*cos(x)) = 0/0

8. Чтобы решить эту неопределенность, мы можем использовать правило Лопиталя. Применим его, взяв производную числителя и знаменателя: lim(x->0) (sin(x))/(2x*cos(x)) = lim(x->0) (cos(x))/(2*cos(x) - 2x*sin(x))

9. Подставим x=0 в полученное выражение: lim(x->0) (cos(x))/(2*cos(x) - 2x*sin(x)) = cos(0)/(2*cos(0) - 2*0*sin(0)) = 1/2

Ответ:

Предел выражения (1-cos^2(x))/(x*sin2x) при x->0 равен 1/2.