Question

Докажите тождность x^6-y^6=(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)

Answer 1

x⁶ - y⁶ = (x³)² - (y³)² = (x³ - y³)(x³ + y³) = (x - y)(x² + xy + y²)(x + y)(x² - xy + y²) =

= (x - y)(x + y)(x² - xy + y²)(x² + xy + y²)

Answer 2

Для доказательства данной тождественности, мы будем использовать факторизацию разности кубов.

Исходное утверждение: $x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Для начала, давайте разложим правую часть этого тождества согласно умножению:

$RHS = (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Теперь разложим квадратные разности, используя известную формулу $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$:

$RHS = (x - y)(x + y)((x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2))$ $= (x - y)(x + y)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Теперь можем приступить к доказательству:

$LHS = x^6 - y^6$

Для разности кубов у нас есть формула $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, которую мы можем применить к $x^6$ и $y^6$:

$LHS = (x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + (x^2)(y^2) + (y^2)^2)$ $= (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Мы видим, что $LHS$ равно правой части $RHS$:

$LHS = x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2) = RHS$

Таким образом, тождество $x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$ доказано.